[科普中國]-卯酉圈

定義

過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。在下圖中，PEE′即為過點(diǎn)P的卯酉圈1。

卯酉圈是一個(gè)非常拗口的名稱，該名稱的由來可參考下圖所示的羅盤簡化圖。卯酉其實(shí)就是東西向的意思。卯酉圈就是經(jīng)過法線、東西走向的平面與橢球面的交線形成的閉合圈。

計(jì)算卯酉圈的曲率半徑用N表示。

為了推求N的計(jì)算公式，如圖1所示，過P點(diǎn)作以O(shè)'為中心的平行圈PHK的切線PT，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P點(diǎn)處的切線，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈PEE'在P點(diǎn)處的公切線。

由麥尼爾定理知，假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。

由圖1可知，平行圈平面與卯酉圈平面之間的夾角，即為大地緯度B，如果平行圈的半徑用r表示，則有

為了簡化書寫，常引入以下符號： ，t=tanB，η=ecosB

式中，B是大地緯度，c是極點(diǎn)處的子午線曲率半徑，e為橢圓第一偏心率 。

此外，還有兩個(gè)常用的輔助函數(shù)：

式中，e'為橢圓第二偏心率 。

又由圖3可知，平行圈半徑r就等于P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，亦即

因此，卯酉圈曲率半徑

顧及以上有關(guān)公式，上式又可寫為