[科普中國(guó)]-大地線(xiàn)

基本概念定義

大地線(xiàn)（Geodesic Lines）是指地球橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線(xiàn)。1

在微分幾何中，大地線(xiàn)（又稱(chēng)測(cè)地線(xiàn)）另有這樣的定義：“大地線(xiàn)上每點(diǎn)的密切面（無(wú)限接近的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含該點(diǎn)的曲面法線(xiàn)”，亦即“大地線(xiàn)上各點(diǎn)的主法線(xiàn)與該點(diǎn)的曲面法線(xiàn)重合”。因曲面法線(xiàn)互不相交，故大地線(xiàn)是一條空間曲面曲線(xiàn)。1

模型假如在橢球模型表面 A, B 兩點(diǎn)之間，畫(huà)出相對(duì)法截線(xiàn)如圖1，然后在A(yíng)，B 兩點(diǎn)上各插定一個(gè)大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細(xì)橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間沒(méi)有摩擦力，則橡皮筋形成一條曲線(xiàn)，恰好位于相對(duì)法截線(xiàn)之間，如圖1所示，這就是一條大地線(xiàn)，由于橡皮筋處于拉力之下，所以它實(shí)際上是兩點(diǎn)間最短線(xiàn)。1

相對(duì)法截線(xiàn)假設(shè)經(jīng)緯儀的縱軸同 A，B 兩點(diǎn)的法線(xiàn) Ana和 Bna 重合（忽略垂線(xiàn)偏差），如此以?xún)牲c(diǎn)為測(cè)站，則經(jīng)緯儀的照準(zhǔn)面就是法截線(xiàn)。用 A 點(diǎn)照準(zhǔn) B 點(diǎn)，則照準(zhǔn)面AnaB 同橢球面的截線(xiàn)為 AaB，叫 A 點(diǎn)的正法截線(xiàn)，或 B 點(diǎn)的反法截線(xiàn)；同樣由 B點(diǎn)照準(zhǔn) A 點(diǎn)，則照準(zhǔn)面BnbA 與橢球面的截線(xiàn)為 BbA ，叫 B 點(diǎn)的正法截線(xiàn)，或 A 點(diǎn)的反法截線(xiàn)。因法線(xiàn) Ana 和 Bnb 互不相交，故 AaB 和 BbA 這兩條法截線(xiàn)不相重合。 AaB 和 BbA 叫做 A，B 兩點(diǎn)的相對(duì)法截線(xiàn)。注：na 與 nb分別是 A ，B 兩點(diǎn)法線(xiàn)與短軸的交點(diǎn)。1

用途當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線(xiàn)則合二為一，這是一種特殊情況。在通常情況下，正反法截線(xiàn)是不重合的。因此在橢球面A，B，C三點(diǎn)處所測(cè)得的角度（各點(diǎn)上正法截線(xiàn)之夾角）將不能構(gòu)成閉合三角形，見(jiàn)圖3。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單一的大地線(xiàn)代替相對(duì)法截線(xiàn)，從而得到由大地線(xiàn)構(gòu)成的單一的三角形。1

性質(zhì)大地線(xiàn)是橢球面上兩點(diǎn)間的最短線(xiàn)。2

大地線(xiàn)是無(wú)數(shù)法截線(xiàn)的連線(xiàn)。2

橢球面上的大地線(xiàn)是雙重彎曲的曲線(xiàn)。2

大地線(xiàn)位于相對(duì)法截線(xiàn)之間。2

不在同一子午圈與同一平行圈上的兩點(diǎn)的正反法截線(xiàn)是不重合的，他們之間的夾角為△，在一等三角測(cè)量中可達(dá)到千分之四。大地線(xiàn)是兩點(diǎn)間最短線(xiàn)，而且位于相對(duì)法截線(xiàn)之間，并靠近正法截線(xiàn)（如圖1），它與正法截線(xiàn)的夾角

大地線(xiàn)微分方程如圖4，設(shè) p 為大地線(xiàn)上任意一點(diǎn)，其經(jīng)度 L ，緯度為 B，大地線(xiàn)方位角為 A 。當(dāng)大地線(xiàn)增加 dS 到p1點(diǎn)時(shí)，則上述各量相應(yīng)變化 dL ， dB 及 dA。所謂大地線(xiàn)微分方程，即表達(dá)dL，dB，dA各與dS 的關(guān)系式。1