[科普中國]-簡算

在數(shù)的運(yùn)算中，有加（+）、減（-）、乘（×）、除（÷）四種運(yùn)算，我們在數(shù)學(xué)上又為了能更簡便計(jì)算它們，簡稱稱作簡算，簡算有以下幾種（公式詳見在常用特殊數(shù)的乘積、及簡算公式）1：

加法：（加法交換律） (加法結(jié)合律）（近似數(shù)）

乘法：（乘法交換律）（乘法結(jié)合律）（乘法分配律）（乘法分配律變化式（四個(gè)））

減法：（減法的基本性質(zhì)）（近似數(shù)）

除法：（除法的基本性質(zhì)）（商不變的性質(zhì)）

簡便運(yùn)算這是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算題中最常見的一種。從學(xué)生一開始接觸計(jì)算就從各個(gè)不同的角度滲透了簡便運(yùn)算的思想，到了四年級在計(jì)算題中簡便運(yùn)算則做為獨(dú)立的題型正式出現(xiàn)，它是計(jì)算題中最為靈活的一種，能使學(xué)生思維的靈活性得到充分鍛煉，對提高學(xué)生的計(jì)算能力將起到非常大的作用。 何謂簡便運(yùn)算，這是一個(gè)非常簡單的問題，但要正確地理解它，決不能為了追求簡便的形式而進(jìn)行簡便運(yùn)算。對此，我的理解是：簡便運(yùn)算應(yīng)該是靈活、正確、合理地運(yùn)用各種定義、定理、定律、性質(zhì)、法則等等，改變原有的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，通過簡便運(yùn)算要大幅度地提高計(jì)算速度及正確率，使復(fù)雜的計(jì)算變得簡單2。**也就是說：**最重要的是靈活、合理地運(yùn)用各種定義、定理、定律、性質(zhì)、法則。尤其要強(qiáng)調(diào)“靈活”、“合理”。下面就我在教學(xué)中遇到的情況，談?wù)勎业目捶ā?/p>

**1、“4.9+0.1－4.9+0.1”**這是小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊練習(xí)二十七第二題中的一道非常簡單的常見簡便運(yùn)算題。當(dāng)我給學(xué)生布置了這道題后，我以為學(xué)生會毫不猶豫地使用加法交換率和結(jié)合率，順利完成此題，但是當(dāng)我批改學(xué)生的作業(yè)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)了以下三種情況：

①、4.9+0.1－4.9+0.1=（4.9－4.9）+（0.1+0.1）；

②、4.9+0.1－4.9+0.1=4.9－4.9+0.1+0.1；

③、4.9+0.1－4.9+0.1=（4.9+0.1）－（4.9+0.1）。

顯然第③種簡算是錯誤的，因?yàn)樗`反了四則運(yùn)算順序，其簡算結(jié)果絕對不等于原題的結(jié)果。問題就出在第①種和第②種解法上，第①種解法的簡算過程非常標(biāo)準(zhǔn)，無懈可擊；第②種解法看上去好象不太標(biāo)準(zhǔn)，但是也有道理。于是，我組織學(xué)生進(jìn)行了討論，結(jié)果學(xué)生分成了截然相反的兩派。一方認(rèn)為：第①種解法絕對正確，而第②種解法不規(guī)范，沒有明確標(biāo)明簡便運(yùn)算的過程，所以不能算對。另一方認(rèn)為：第①種解法非常標(biāo)準(zhǔn)，肯定正確無疑，但是，第②種解法也是對的，因?yàn)榘催\(yùn)算順序從左往右，先算4.9－4.9，實(shí)際上就得0，其實(shí)就不用算，直接計(jì)算0.1+0.1就行了，簡算過程其實(shí)也很明確。

面對學(xué)生的不同觀點(diǎn)，我進(jìn)行了總結(jié)。我首先肯定了學(xué)生的學(xué)習(xí)精神，然后，闡述了我的觀點(diǎn)：第①種解法絕對正確，毫無疑問，但是第②種解法也有道理，也不失為一種合理的簡便運(yùn)算，因?yàn)樗鼈兌甲プ×诉@道題的關(guān)鍵所在，二者沒有本質(zhì)的區(qū)別。簡便運(yùn)算不能僅僅停留在追求形式上，更應(yīng)該抓住實(shí)質(zhì)上的簡便，正如那些學(xué)生所說4.9－4.9不用算就知道得0，只需要計(jì)算0.1+0.1就行了，既然不加括號同樣也能達(dá)到同樣的效果，就沒有必要強(qiáng)調(diào)必須加上括號，簡便運(yùn)算最終要得就是“簡便”的效果。

**2、“88×25”這是一道關(guān)于乘法的簡便運(yùn)算題。**當(dāng)時(shí)剛學(xué)完乘法分配率，習(xí)題中有這樣一道題（80+8）×25，學(xué)生完成后，我隨即將該題改為“88×25”讓學(xué)生考慮，第二天學(xué)生匯報(bào)了兩種答案：

①、88×25=80×25+8×25=2000+200=2200；

②、88×25=11×（8×25）=11×200=2200。

然后，我請學(xué)生分別介紹了他們的想法，他們的想法非常好，他們是這樣說的：第①種是把88分成80+8，再利用乘法分配率，讓他們分別同25相乘；第②種則將88分成8×11，然后利用乘法交換率和結(jié)合率，先把8與25相乘，最后再乘11。

聽完學(xué)生的介紹后，我進(jìn)行了總結(jié)，首先肯定了兩種答案的正確，然后對兩種答案進(jìn)行了分析：兩種答案的共同之處在于都發(fā)現(xiàn)了8與25相乘非常簡便，于是想方設(shè)法對88進(jìn)行分解，因此都把握住了這道題的關(guān)鍵，所以都是正確的；兩種解法的區(qū)別是，分解的方法不同，第①種解法是用加法進(jìn)行的分解，所以使用的是乘法分配率，第②種解法用乘法進(jìn)行的分解，所以使用的是乘法交換率和結(jié)合率。方法不同卻有異曲同工之處。

最后，再次強(qiáng)調(diào)：簡便運(yùn)算的思路會有很多，但是，只要把握“簡便”這個(gè)解題關(guān)鍵，正確、合理地使用定律、法則，就應(yīng)該是正確的。

**3、“5436÷18”這是第八冊練習(xí)二十七第五題中的一道關(guān)于除法的簡便運(yùn)算題。**正是因?yàn)轭}目的要求是“下面各題，怎樣簡便就怎樣算”，所以學(xué)生的答案可謂是多種多樣，我匯總了一下，主要有以下四種：

①、直接算就非常簡便；

②、5436÷18=5400÷18+36÷18=300+2=302；

③、5436÷18=5436÷9÷2=604÷2=302；

④、5436÷18=5436÷6÷3=906÷3=302。

仔細(xì)分析，除了第①種解法不符合簡便運(yùn)算規(guī)則外，其余三種解法都有道理，第②種解法成功地把乘法分配率運(yùn)用到了除法上；第③種和第④種解法則將除數(shù)18成功分解成兩個(gè)一位因數(shù)的積，然后運(yùn)用“A÷（B×C）=A÷B÷C”這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行連除，把除數(shù)是兩位數(shù)的除法計(jì)算，變成可以口算的除數(shù)是一位數(shù)的計(jì)算，從而使計(jì)算簡便。所以，我在課堂上把這四種解法全部公布在黑板上，并引導(dǎo)學(xué)生逐一進(jìn)行了分析，使學(xué)生對簡便運(yùn)算的實(shí)質(zhì)有了進(jìn)一步地理解。

**4、許多學(xué)生都頭疼這樣的題“計(jì)算下面各題，能簡算的要簡算”，**的確這種題確有難度，因?yàn)?，它不僅要求學(xué)生能明確運(yùn)算順序，正確計(jì)算，而且還要求學(xué)生有一定的觀察能力，甚至要有一些直覺，能夠進(jìn)行合理的分析，找出其中能夠進(jìn)行簡便運(yùn)算的部分，并合理地進(jìn)行簡便運(yùn)算。要想順利能完成這種題，學(xué)生必須對簡算的理解要透，要把握簡算的本質(zhì)，既不能漏了哪處可以簡算的題，也不能把不能簡算的題錯誤地進(jìn)行了簡算。

教學(xué)過程中我是這樣處理的：首先，我并沒有直接要求學(xué)生做這樣的題，而是做了大量的直接簡算的題，列舉了各種不同思路，就像上面那樣，通過練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一些常見的簡算數(shù)對象“25和4”、“125和8”、“5與任何偶數(shù)”以及其他的可以湊整的數(shù)，同時(shí)使學(xué)生對簡算有了比較深刻的理解，甚至有些學(xué)生有了對簡便運(yùn)算的直覺。然后，再重溫了混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，使學(xué)生對運(yùn)算順序進(jìn)一步加深認(rèn)識，使學(xué)生基本上能做到不假思索就能按正常順序完成。最后，再進(jìn)行此類題。這時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有了簡算的基礎(chǔ)，對簡算產(chǎn)生了直覺，同時(shí)又牢固地掌握了正常情況下的混合運(yùn)算，就已經(jīng)不再認(rèn)為這種題很難了，有些學(xué)生甚至認(rèn)為這種題更好算，不知不覺地把這種方法運(yùn)用到了其他的地方比如其他計(jì)算、應(yīng)用題的計(jì)算、現(xiàn)實(shí)生活等等，從而使學(xué)生的計(jì)算能力大幅度提高。

通過這些練習(xí)，不僅使學(xué)生學(xué)會了單純的簡便運(yùn)算，更重要的是，使學(xué)生初步理解了學(xué)以致用的道理，真正理解了書本上的知識必須運(yùn)用到實(shí)際當(dāng)中去的道理。

簡便運(yùn)算是一種高級的混合運(yùn)算，是混合運(yùn)算的技巧，學(xué)好了簡便運(yùn)算，不僅能提高計(jì)算能力、計(jì)算速度，更重要的是，使學(xué)到的定義、定理、定律、法則、性質(zhì)、規(guī)律等達(dá)到融會貫通的境界，是計(jì)算題中最能鍛煉學(xué)生思維能力、開拓學(xué)生思路的一種題型，所以，在計(jì)算題教學(xué)中必須重視簡便運(yùn)算，注重簡便運(yùn)算靈活的思路的學(xué)習(xí)，正確理解簡便運(yùn)算的涵義，合理地進(jìn)行簡便運(yùn)算，使學(xué)生的思維能力得到提高。

典型例題難度為簡單的210÷7÷6 1035-(497+235) 210÷（7×6）

1100÷25 2700÷25÷4 246-78+54

難度為中等的355+260+140+245 98×101 48×125 645-180-245

38×99+38 3500÷14÷5 175×56+25×56 50×25×20×40

較高難度的1、199999+19999+1999+199+19

2、999×778+333×666

特殊數(shù)公式25×2=50

25×3=75

25×4=100

25×8=200

125×3=375

125×4=500

125×8=1000

625×16=10000

加法：a+b=b+a（加法交換律）

a+b+c=a+(b+c) (加法結(jié)合律）

a+99=a+(100-1)（近似數(shù)）

乘法：a×b=b×a（乘法交換律）

a×b×c=a×(b×c)（乘法結(jié)合律）

(a+b)×c=a×c+b×c（乘法分配律）

(a-b)×c=a×c-b×c（乘法分配律變化式）

(a+b+d)×c=a×c+b×c+d×c（乘法分配律變化式）

a×c+c=(a+1)×c（乘法分配律變化式）

減法：a-b-c=a-（b+c）（減法的基本性質(zhì)）

a+99=a+(100-1)（近似數(shù)）

除法：a÷b÷c=a÷（b×c)（除法的基本性質(zhì)）

a÷b=(a÷c)÷(b÷c)=(a×c)÷(b×c)（商不變的性質(zhì)）

a×b+a×b……=ab×（多少個(gè)ab）3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

楊磊 - 副教授 - 北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院