[科普中國]-換元法

解一些復(fù)雜的因式分解問題，常用到換元法，即對(duì)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，明朗化，在減少多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù),降低多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有獨(dú)到作用1。

換元法又稱變量替換法 , 是我們解題常用的方法之一 。利用換元法 , 可以化繁為簡(jiǎn) , 化難為易 , 從而找到解題的捷徑 。

概述亦稱輔助未知數(shù)法，又稱變?cè)鷵Q法.解方程組的一種重要方法。它是普遍應(yīng)用的一種方法，其一般意義是將由一個(gè)或幾個(gè)變?cè)獦?gòu)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的一部分用新的變?cè)硎?，以利于問題的解決.這里僅給出在解方程(組)和解不等式(組)中的應(yīng)用2。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

分類換元法是指引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量代替原來的某些變量的變量求出結(jié)果之后，返回去求原變量的結(jié)果.換元法通過引入新的元素將分散的條件聯(lián)系起來，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ膯栴}.其理論根據(jù)是等量代換.

高中數(shù)學(xué)中換元法主要有以下兩類：

(1)整體換元：以“元”換“式”。

(2)三角換元 ，以“式”換“元”。

(3)此外，還有對(duì)稱換元、均值換元、萬能換元等.換元法應(yīng)用比較廣泛。如解方程，解不等式，證明不等式，求函數(shù)的值域，求數(shù)列的通項(xiàng)與和等，另外在解析幾何中也有廣泛的應(yīng)用。

整體換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4^x +2^x －2≥0，先變形為2^2x,設(shè)2^x =t（t>0），從而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

三角換元應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y=√1-x^2的值域時(shí)，若x∈[-1,1]，設(shè)x=sin α ，sinα∈[-1,1 ]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x^2+y^2 =r^2（r>0）時(shí)，則可作三角代換x=rcosθ、y=rsinθ化為三角問題。

均值換元如遇到x+y=2S形式時(shí)，設(shè)x= S+t，y= S－t等等。

例如清華大學(xué)自主招生考試題，已知a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，M=a^4+b^4，a+b=1,求M的最值

可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),帶入M，M=2×（t^2+3/4)^2-1，由二次函數(shù)性質(zhì)知M（min)=1/8,M(max)=1.

等量換元設(shè) x+y=3

x=t+2，y=v-3 ，多在二重積分中用到。

非等量換元設(shè) u=（x+y）+3（x+y）

設(shè)x+y=S，也叫整體換元法。

應(yīng)用技巧我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量取值范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和sinα∈[-1,1 ]。

可以先觀察算式，可發(fā)現(xiàn)這種需換元法之算式中總含有相同的式子，然后把它們用一個(gè)字母替換，推演出答案，然后若在答案中有此字母，即將該式帶入其中，遂可算出3。

分解因式有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。

相關(guān)例題注意:換元后勿忘還元。

【例】在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時(shí)，可以令y=x2+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y+2-12=y2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x2+x+5)(x2+x-2) =(x2+x+5)(x+2)(x-1)．

例2，(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可寫為

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以

特點(diǎn)：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡(jiǎn)化方程。

解高次方程

有時(shí)在解方程時(shí)，可以選擇方程中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，達(dá)到降次的目的，然后進(jìn)行新方程求新未知數(shù)，最后再轉(zhuǎn)換回來求原未知數(shù)，這種方法叫做換元法。

相關(guān)例題注意:換元后勿忘還元。

【例】解方程（x2-2x）2-3（x2-2x）-4=0

解：設(shè)x2-2x=y，則原方程變?yōu)閥2-3y-4=0

(y-4)(y+1)=0

y-4=0或y+1=0

y1=4 y2=-1

當(dāng)y=4時(shí)，x2-2x=4 解得x1=1+√5 x2=1-√5

當(dāng)y=-1時(shí)，x2-2x=-1解得x1=x2=1

所以，原方程的根為x1=1+√5 x2=1-√5 x3=1

二重積分的換元法定理 設(shè)f(x,y)在x0y平面上的閉區(qū)域D上連續(xù)，變換T：x=x(u,v),y=y(u,v)，將u0v平面上的閉區(qū)域D'變?yōu)閤0y平面上的D，且滿足

（1）x(u,v)，y(u,v)在D'上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

（2）在D'上雅可比式

（3）變換 T：D'→D是一對(duì)一的，

則有

上邊的公式稱為二重積分的換元公式。4

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

郎奠波 - 副教授 - 黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院