[科普中國]-歐拉公式

( 1)當 R= 2時 ，由說明 1,這兩個區(qū)域可想象為 以赤道為邊界的兩個半球面 ，赤道上有兩個“頂點” 將赤道分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。

( 2)設 R= m(m≥ 2)時歐拉定理成立 ，下面證明 R= m+ 1時歐拉定理也成立 。

由說明 2，我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個 區(qū)域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區(qū)域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之間的唯一一條邊界后 ，地圖上只有 m 個區(qū)域了；在去掉 X 和 Y 之間的邊界后 ，若原該邊界兩端 的頂點現(xiàn)在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點 ，則 該頂點保留 ，同時其他的邊界數(shù)不變;若原該邊界一 端或兩端的頂點現(xiàn)在成為 2條邊界的頂點 ，則去掉 該頂點 ,該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界 。于 是 ,在去掉 X 和 Y之間的唯一一條邊界時只有三種 情況：

①減少一個區(qū)域和一條邊界；

②減少一個區(qū) 域、一個頂點和兩條邊界；

③減少一個區(qū)域、兩個頂 點和三條邊界；

即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時 ,不 論何種情況都必定有“減少的區(qū)域數(shù) + 減少的頂點數(shù) = 減少的邊界數(shù)”我們將上述過程反過來 (即將 X 和 Y之間去掉的邊 界又照原樣畫上 ) ，就又成為 R= m+ 1的地圖了 ，在 這一過程中必然是“增加的區(qū)域數(shù) + 增加的頂點數(shù) = 增加的邊界數(shù)”。

因此 ，若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立 ，則 R= m+ 1時歐拉定理也成立.。

由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對于任何正整數(shù) R≥2,歐拉 定理成立。1 .

第一個歐拉公式的嚴格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：

從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網絡。不失一般性，可以假設變形的邊繼續(xù)保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數(shù)保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網絡的外部。)

重復一系列可以簡化網絡卻不改變其歐拉數(shù)（也是歐拉示性數(shù)）的額外變換。

若有一個多邊形面有3條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續(xù)增加邊直到所有面都是三角形。

除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數(shù)各減一而保持頂點數(shù)不變。

（逐個）除去所有和網絡外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。

重復使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。對于一個三角形（把外部數(shù)在內），。所以。

設想這個多面體是先有一個面，然后將其他各面一個接一個地添裝上去的.因為一共有F個面，因此要添(F-1)個面.

考察第Ⅰ個面，設它是n邊形，有n個頂點，n條邊，這時E=V，即棱數(shù)等于頂點數(shù).

添上第Ⅱ個面后，因為一條棱與原來的棱重合，而且有兩個頂點和第Ⅰ個面的兩個頂點重合，所以增加的棱數(shù)比增加的頂點數(shù)多1，因此，這時E=V+1.

以后每增添一個面，總是增加的棱數(shù)比增加的頂點數(shù)多1，例如

增添兩個面后，有關系E=V+2;

增添三個面后，有關系E=V+3;

……

增添(F-2)個面后，有關系E=V+ (F-2).

最后增添一個面后，就成為多面體，這時棱數(shù)和頂點數(shù)都沒有增加.因此，關系式仍為E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

這個公式叫做歐拉公式.它表明2這個數(shù)是簡單多面體表面在連續(xù)變形下不變的數(shù)。2

當r=0或1時式子的值為0，當r=2時值為1，當r=3時值為a+b+c。3

把復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來的一個公式， 4，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學分析里，而且在復變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更被譽為“數(shù)學中的天橋”。5

這三個公式分別為其省略余項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式

在 的展開式中把x換成±ix.

所以

由此：

， ，然后采用兩式相加減的方法得到： ， .這兩個也叫做歐拉公式。將 中的x取作π就得到：

這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π；兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1；以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”。5

設△ABC的外心為O，內心為I，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，又記外心、內心的距離OI為d，則有

（1）式稱為歐拉公式。6

為了證明（1）式，我們現(xiàn)將它改成

（2）式左邊是點I對于⊙O的冪：過圓內任一點P的弦被P分成兩個部分，這兩個部分的乘積是一個定值，稱為P關于⊙O的冪。事實上，如圖3.21，如果將OI延長交圓于E、F，那么

因此，設AI交⊙O于M，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為了證明（5）式，應當尋找兩個相似的三角形。一個以長IA、r為邊；另一個以長2R、MI為邊。前一個不難找，圖3.21中的△IDA就是，D是內切圓與AC的切點。后一個也必須是直角三角形，所以一邊是直徑ML，另一個頂點也應當在圓上?！鱉BL就滿足要求。

容易證明

因此（5）式成立，從而（1）式成立。

因為 ，所以由歐拉公式得出一個副產品，即

拓撲學又稱“連續(xù)幾何學”。

幾何學的一門分科。研究幾何圖形經過連續(xù)形變后仍能保持的性質。包括點集拓撲、代數(shù)拓撲、微分拓撲等分支。7

在代數(shù)拓撲中，歐拉示性數(shù)（Euler characteristic）是一個拓撲不變量（事實上，是同倫不變量），對于一大類拓撲空間有定義。它通常記作 。

二維拓撲多面體的歐拉示性數(shù)可以用以下公式計算：

其中V、E和F分別是點、邊和面的個數(shù)。 特別的有，對于所有和一個球面同胚的多面體，我們有

統(tǒng)計學

特征函數(shù)用歐拉公式：隨機變量X的特征函數(shù)定義為

眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數(shù)之間的關系?，F(xiàn)將歐拉這個頗有價值的公式列在這里：

其中，f表示我們施加的力，F(xiàn)表示與其對抗的力，e為自然對數(shù)的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數(shù)，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。