[科普中國]-降階模型

簡介

模型降階技術(shù)很早就在自動控制和電路系統(tǒng)領(lǐng)域得到應(yīng)用，也一直是超大規(guī)模電路設(shè)計自動化軟件的理論基礎(chǔ)之一 。但這一基本而又樸素的思想， 作為一類具有理論依據(jù)較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法還是近些年的事情，如何將大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)在一定條件下轉(zhuǎn)化為較小規(guī)模近似降階系統(tǒng) ,并滿足降階系統(tǒng)與原系統(tǒng)誤差足夠小 ，盡可能保持原

系統(tǒng)穩(wěn)定性、無源性和結(jié)構(gòu)特性等主要性能 ,同時降階算法穩(wěn)定高效等 ，也是當前計算數(shù)學(xué)的前沿研究課題 。 到目前為止 ，眾多具有較為嚴格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的模型降階方法基本上是關(guān)于線性系統(tǒng)的。從數(shù)學(xué)上來看 , 最主要的降階模型方法包括 Krylov 子空間法、平衡截斷法和正交分解法 3種。12

降階的原因根據(jù)實際設(shè)計需要，在合理時間內(nèi)對系統(tǒng)性能和特征進行評估就必須努力簡化系統(tǒng)模型的階數(shù)。

模型降階的基本思想就是將卡爾曼的最小實現(xiàn)理論應(yīng)用于內(nèi)都平衡模型X1上作為可控可觀測子空間Xcn，得到低階模型( )?？梢娔Ｐ徒惦A包含了模型階數(shù)與由模型所反映的系統(tǒng)性能的程度之間的折中。其關(guān)鍵是去掉對脈沖響應(yīng)不起作用的弱系統(tǒng)，得到一個其脈沖響應(yīng)與全階系統(tǒng)極相似的 “占優(yōu)”子系統(tǒng) 這個“占優(yōu) 子系統(tǒng)就是所求的低階模型。

方法簡介Krylov 子空間法最基本和最重要的模型降階方法是 Krylov 子空間方法 , 其核心思想是采用標準正交列向量基對系統(tǒng)進行模型降階 , 使得降階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對于原始線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在指定頻率區(qū)域內(nèi)有很好的近似 . Krylov 子空間方法在數(shù)學(xué)理論上相當完善 , 其優(yōu)點是算法穩(wěn)定、簡單高效且能保持系統(tǒng)的基本特性。典型的 Krylov 方法包括Arnoldi 降階算法及其改進 ; Lanczos降階算法及其改進 ; PRIMA算法及多重 Krylov 子空間算法等。3

平衡截斷法Moor 提出的平衡截斷法及其系列改進方法通過選擇適當?shù)挠成渥涌臻g來獲得高性能降階模型 . 平衡截斷法能直接給出降階系統(tǒng)與原始系統(tǒng)之間的誤差關(guān)系 ,并能夠保持原始系統(tǒng)的穩(wěn)定性 . 其主要缺點在于降階過程需要求解兩個 Lyapunov 方程 , 計算量比較大。因此對于百萬階以上超大規(guī)模系統(tǒng) ,平衡截斷法降階過程的巨大計算耗費會使得降階模型的高效性失去實際意義。3

正交分解法基于函數(shù)正交分解的函數(shù)逼近論降階模型方法目前主要發(fā)展了兩類。 一類是對系統(tǒng)的狀態(tài)變量或傳遞函數(shù)在已知正交函數(shù)基下進行展開 , 然后再對系統(tǒng)進行降階。其優(yōu)點是簡單明了 ,但計算過程不穩(wěn)定 , 系統(tǒng)穩(wěn)定性和無源性難以保證 . 另一類是由系統(tǒng)的近似樣本數(shù)據(jù)集通過構(gòu)造一組基向量來對系統(tǒng)進行降階 , 即本征正交分解法 (proper orthogonal decomposition, POD), 可有效地對非線性系統(tǒng)進行降階,在數(shù)據(jù)處理中得到廣泛應(yīng)用 , 成為當前最受關(guān)注的降階方法之一。3

發(fā)展趨勢與展望多學(xué)科設(shè)計對降階模型提出挑戰(zhàn)

由于 ROM 技術(shù)提供了比原系統(tǒng)自由度低得多的降階模型 , 使得ROM 能夠得到計算機近乎實時的處理 , 同時 ROM 擁有足夠的精度 , ROM 自然被寄予厚望用來進行與流場相關(guān)的多學(xué)科優(yōu)化與設(shè)計 .。然而不幸的是目前幾乎所有 ROM 方法 , 包括系統(tǒng)辨識方法和特征模態(tài)方法都是數(shù)據(jù)驅(qū)動的經(jīng)驗?zāi)Ｐ?, 模型的精度強烈依賴構(gòu)建 ROM 時流場的狀態(tài) , 例如 , 雷諾數(shù)、初始條件和邊界條件 , 對流場參數(shù)變化非常敏感 , 缺乏足夠的魯棒性 . 當參數(shù)發(fā)生哪怕是微小變化時 ROM 的精度就會大大降低 , 不滿足 ROM 在氣動彈性設(shè)計與控制等多學(xué)科領(lǐng)域設(shè)計與仿真應(yīng)用中的要求。3

自適應(yīng)降階模型研究現(xiàn)狀

由于傳統(tǒng) POD/ROM 的出現(xiàn)也不過是近 10年的事情 , 而且對它在無流場參數(shù)變化系統(tǒng)中的應(yīng)用仍然是當前計算氣動彈性力學(xué)的研究熱點 ,因此很少有人關(guān)注 ROM 對流場參數(shù)變化敏感的問題 . 從目前能查到的文獻來看 , 最早關(guān)注這個問題的可能是美國 Syracuse 大學(xué)的 Glauser 教授 . 他在研究微型飛行器時為了對風(fēng)洞實驗在不同馬赫數(shù)和不同迎角下得到的流場數(shù)據(jù)利用 POD 方法進行建模 , 以便預(yù)測柔性機翼在任意飛行狀態(tài)下的表面流場 , 于 2004 年提出了 GPOD 方法。其主要思想是將參數(shù)空間多個點 , 如多個馬赫數(shù)和迎角下的流場解都包括在內(nèi)構(gòu)成一個更大的 snap-shot 矩陣 , 然后再生成 POD 基 . 該方法在極低馬赫數(shù) 0.04 ～ 0.05 和 0 ? ～ 20 ? 攻角之間變化獲得了較好的效果 . 但是目前框架內(nèi)的 GPOD 方法有兩個主要的缺點 . 一是 snapshot 假定為非線性定常流場的線性擾動 , 因此難以包括不同定常條件下的非線性流場解 , 會導(dǎo)致 snapshot 矩陣的不一致性 . 二是包括不同參數(shù)空間的 snapshot 矩陣會大大降低 POD 基的收斂性 , 從而會導(dǎo)致 POD 基對任何一個馬赫數(shù)都不是最優(yōu)的 . 此外 , 如果飛行包線范圍比較大 , 會導(dǎo)致巨大的 snapshot 矩陣從而難以求解其特征值 . 這樣 GPOD 在非線性相當嚴重的跨音速區(qū)就失效了。3