[科普中國]-祖暅原理

祖暅原理也稱祖氏原理，一個涉及幾何求積的著名命題。公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的開立圓術(shù)。祖暅在求球體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”。“冪”是截面積，“勢”是立體的高。意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等。更詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等。上述原理在中國被稱為祖暅原理，國外則一般稱之為卡瓦列利原理。1

定義祖暅原理，又名等冪等積定理，內(nèi)容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。祖暅之《綴術(shù)》有云：“緣冪勢既同，則積不容異”。1

歷史沿革等積原理的發(fā)現(xiàn)起源于《九章算術(shù)》中的答案是錯誤的。他提出的難方法是取每邊為1寸的正方體棋子八枚，拼成一個邊長為2寸的正方體，在正方體內(nèi)畫內(nèi)切圓柱體，再在橫向畫一個同樣的內(nèi)切圓柱體。這樣兩個圓柱所包含的立體共同部分像兩把上下對稱的傘，劉徽將其取名為“牟合方蓋”。（古時人稱傘為“蓋”，“牟”同侔，意即相合。）根據(jù)計算得出球體積是牟合方蓋體的體積的四分之三，可是圓柱體又比牟合方蓋大，但是《九章算術(shù)》中得出球的體積是圓柱體體積的四分之三,顯然《九章算術(shù)》中的球體積計算公式是錯誤的。劉徽認為只要求出牟合方蓋的體積，就可以求出球的體積。可怎么也找不出求導(dǎo)牟合方蓋體積的途徑。

祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論去進行體積計算，得出“冪勢既同，則積不容異”的結(jié)論。“勢”即是高，“冪”是面積。

在西方，球體的體積計算方法雖然早已由希臘數(shù)學家阿基米德發(fā)現(xiàn)，但“祖暅原理”是在獨立研究的基礎(chǔ)上得出的，且比阿基米德的內(nèi)容要豐富，涉及的問題要復(fù)雜。二者有異曲同工之妙。根據(jù)這一原理就可以求出牟合方蓋的體積，然后再導(dǎo)出球的體積。

這一原理主要應(yīng)用于計算一些復(fù)雜幾何體的體積上面。在西方，直到17世紀，才由意大利數(shù)學家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)發(fā)現(xiàn)。于1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為“卡瓦列里原理”。其實，他的發(fā)現(xiàn)要比我國的祖暅晚1100多年。2

意義我們都知道“點動成線，線動成面，面動成體”這句話，直線由點構(gòu)成，點的多少表示直線的長短；面由線構(gòu)成，也就是由點構(gòu)成，點的多少表示面積的大小；幾何體由面構(gòu)成，就是由線構(gòu)成，最終也就是由點構(gòu)成，點的多少也表示了體積的大小，要想讓兩個幾何體的體積相等，也就是讓構(gòu)成這兩個幾何體的點的數(shù)量相同，祖暅原理就運用到了它。

兩個幾何體夾在兩平行平面中間，可以理解為這兩個幾何體平行面間的的高度相等。兩平行面之間的距離一定，若視距離為一條線段，那么這個距離上就有無數(shù)個點，過一個點，可以畫出一個平行于兩平行面的截面，若兩幾何體在被過每一點的平行截面截出的截面面積兩兩相等，則說明兩幾何體在同一高度下的每兩個截面上的點的數(shù)量相同。有無數(shù)個截面，同一高度每兩個幾何體的截面上的點的數(shù)量相同，則說明，這兩個幾何體所擁有的點數(shù)量相同，那么也就是說，它們的體積相同。所以我們可以用這種思想來理解祖暅原理。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

郎奠波 - 副教授 - 黑龍江財經(jīng)學院