[科普中國]-最速降線問題

最速降線或捷線問題是歷史上第一個(gè)出現(xiàn)的變分法問題，也是變分法發(fā)展的一個(gè)標(biāo)志。此問題是1696年約翰·伯努利在寫給他哥哥雅克布·伯努利的一封公開信中提出的。問題的提法是：設(shè)A和B是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點(diǎn)，在所有連接A和B的平面曲線中，求出一條曲線，使僅受重力作用且初速度為零的知點(diǎn)從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿這條曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)所需時(shí)間最短1。

簡介在一個(gè)斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲線，起點(diǎn)高度以及終點(diǎn)高度都相同。兩個(gè)質(zhì)量、大小一樣的小球同時(shí)從起點(diǎn)向下滑落，曲線的小球反而先到終點(diǎn)。這是由于曲線軌道上的小球先達(dá)到最高速度，所以先到達(dá)。然而，兩點(diǎn)之間的直線只有一條，曲線卻有無數(shù)條，那么，哪一條才是最快的呢？伽利略于1630年提出了這個(gè)問題，當(dāng)時(shí)他認(rèn)為這條線應(yīng)該是一條圓弧，可是后來人們發(fā)現(xiàn)這個(gè)答案是錯(cuò)誤的2。1696年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利解決了這個(gè)問題，他還拿這個(gè)問題向其他數(shù)學(xué)家提出了公開挑戰(zhàn)。牛頓、萊布尼茲、洛比達(dá)以及雅克布·伯努利等解決了這個(gè)問題3。這條最速降線就是一條擺線，也叫旋輪線。

旋輪線與1673年荷蘭科學(xué)家惠更斯討論的擺線相同。因?yàn)殓姳頂[錘作一次完全擺動(dòng)所用的時(shí)間相等，所以擺線（旋輪線）又稱等時(shí)曲線。

看一個(gè)稍微有點(diǎn)振奮人心的東西，約翰·伯努利對最速降線問題的非常精妙的解答：

如果使分成的層數(shù)n無限地增加，即每層的厚度無限地變薄，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)便趨于空間A、B兩點(diǎn)間質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)情況，此時(shí)折線也就無限增多，其形狀就趨近我們所要求的曲線——最速降線．而折線的每一段趨向于曲線的切線，因而得出最速降線的一個(gè)重要性質(zhì)：任意一點(diǎn)上切線和鉛垂線所成的角度的正弦與該點(diǎn)落下的高度的平方根的比是常數(shù)．而具有這種性質(zhì)的曲線就是擺線．所謂擺線，它是一個(gè)圓沿著一條直線滾動(dòng)正（無滑動(dòng)）時(shí)，圓周上任意一點(diǎn)的軌跡。

因此，最速降線就是擺線，只不過在最速降線問題中，這條擺線是上、下顛倒過來的罷了4。

求解列出表達(dá)式設(shè) O, A是高度不同，且不在同一鉛垂線上的兩定點(diǎn)，如果不計(jì)摩擦和空氣阻力，一質(zhì)點(diǎn) m在重力作用下從 O點(diǎn)沿一曲線降落至 。A(p,q) A點(diǎn)，問曲線呈何種形狀時(shí)，質(zhì)點(diǎn)降落的時(shí)間最短。

設(shè)曲線為 y =y(x) ，坐標(biāo)如圖 所示，質(zhì)點(diǎn)由 O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，它的速度 v與它的縱坐標(biāo)有關(guān)系

式中， g是重力加速度。

在曲線上點(diǎn) (x, y) 處，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為

式中， s表示曲線的弧長， t表示時(shí)間，于是

由于點(diǎn) O, A的橫坐標(biāo)分別是 0, p，則質(zhì)點(diǎn) m從 O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 A點(diǎn)所需時(shí)間為

這樣，質(zhì)點(diǎn)由 O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 A點(diǎn)所需時(shí)間 t是 y(x)的函數(shù)，最速降線問題就是滿足邊界條件的

所有連續(xù)函數(shù) y(x)中，求出一個(gè)函數(shù) y使泛函式取最小值。

對泛函求極值的問題稱為變分問題，使泛函取極值的函數(shù)稱為變分問題的解，也稱為極值函數(shù)。

最終解答解

且y(0)=0,y(p)=q

這樣

其E-L方程為

由于

所以有

則可得

上式對θ求導(dǎo)，所以

根據(jù)曲線過原點(diǎn)(0,0)及(p,q)可求出x0=0及r，這樣，所求曲線為5

應(yīng)用最速降線無論在數(shù)學(xué)上還是物理上都進(jìn)行過嚴(yán)格的證明, 對工程來說, 其物理原理為在同一高度滾下的兩個(gè)球, 兩球下滾的原因都是受重力分力的作用, 沿直線下滾的球, 下滑的加速度保持不變, 速度穩(wěn)定地增加。沿著旋輪線下滑時(shí), 開始的一段的坡度非常大, 使得下滑的球在非常短的時(shí)間內(nèi)取得的下滑速度非常大。雖然, 在下滑的后半階段, 坡度逐漸變小、速度增加變緩, 但此時(shí)的下滑速度已經(jīng)變得很大。所以, 沿著旋輪線下滑在整個(gè)下滑階段的平均速度很大。即使旋輪線的長度比直線的長度大, 沿著旋輪線下滑的時(shí)間也比直線短。

例如，最速降線理論在糧食倉儲(chǔ)物流中有廣泛的應(yīng)用, 在解決倉儲(chǔ)工藝和設(shè)備上可發(fā)揮重要作用, 如改善空氣斜槽、溜管和布糧器等設(shè)備的性能參數(shù), 優(yōu)化糧食倉儲(chǔ)工藝等6。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

郎奠波 - 副教授 - 黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院