[科普中國(guó)]-模糊邏輯

簡(jiǎn)介基本內(nèi)容

模糊邏輯指模仿人腦的不確定性概念判斷、推理思維方式，對(duì)于模型未知或不能確定的描述系統(tǒng)，以及強(qiáng)非線性、大滯后的控制對(duì)象，應(yīng)用模糊集合和模糊規(guī)則進(jìn)行推理，表達(dá)過(guò)渡性界限或定性知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，模擬人腦方式，實(shí)行模糊綜合判斷，推理解決常規(guī)方法難于對(duì)付的規(guī)則型模糊信息問(wèn)題。模糊邏輯善于表達(dá)界限不清晰的定性知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，它借助于隸屬度函數(shù)概念，區(qū)分模糊集合，處理模糊關(guān)系，模擬人腦實(shí)施規(guī)則型推理，解決因“排中律”的邏輯破缺產(chǎn)生的種種不確定問(wèn)題 。

歷史發(fā)展1965年美國(guó)數(shù)學(xué)家L. Zadeh首先提出了Fuzzy集合的概念，標(biāo)志著Fuzzy數(shù)學(xué)的誕生。建立在二值邏輯基礎(chǔ)上的原有的邏輯與數(shù)學(xué)難以描述和處理現(xiàn)實(shí)世界中許多模糊性的對(duì)象。Fuzzy數(shù)學(xué)與Fuzzy邏輯實(shí)質(zhì)上是要對(duì)模糊性對(duì)象進(jìn)行精確的描述和處理。

L. Zadeh為了建立模糊性對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，把只取0和1二值的普通集合概念推廣為在[0，1]區(qū)間上取無(wú)窮多值的模糊集合概念，并用“隸屬度”這一概念來(lái)精確地刻畫元素與模糊集合之間的關(guān)系。正因?yàn)槟：鲜且赃B續(xù)的無(wú)窮多值為依據(jù)的，所以，模糊邏輯可看做是運(yùn)用無(wú)窮連續(xù)值的模糊集合去研究模糊性對(duì)象的科學(xué)。把模糊數(shù)學(xué)的一些基本概念和方法運(yùn)用到邏輯領(lǐng)域中，產(chǎn)生了模糊邏輯變量、模糊邏輯函數(shù)等基本概念。對(duì)于模糊聯(lián)結(jié)詞與模糊真值表也作了相應(yīng)的對(duì)比研究。查德還開(kāi)展了模糊假言推理等似然推理的研究，有些成果已直接應(yīng)用于模糊控制器的研制。

創(chuàng)立和研究模糊邏輯的主要意義有：

（1）運(yùn)用模糊邏輯變量、模糊邏輯函數(shù)和似然推理等新思想、新理論，為尋找解決模糊性問(wèn)題的突破口奠定了理論基礎(chǔ)，從邏輯思想上為研究模糊性對(duì)象指明了方向。

（2）模糊邏輯在原有的布爾代數(shù)、二值邏輯等數(shù)學(xué)和邏輯工具難以描述和處理的自動(dòng)控制過(guò)程、疑難病癥的診斷、大系統(tǒng)的研究等方面，都具有獨(dú)到之處。

（3）在方法論上，為人類從精確性到模糊性、從確定性到不確定性的研究提供了正確的研究方法。此外，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究方面，模糊邏輯有助于解決某些悖論。對(duì)辯證邏輯的研究也會(huì)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。當(dāng)然，模糊邏輯理論本身還有待進(jìn)一步系統(tǒng)化、完整化、規(guī)范化。

基本理論模糊邏輯是二元邏輯的重言式：在多值邏輯中，給定一個(gè) MV-代數(shù)A，一個(gè) A-求值就是從命題演算中公式的集合到 MV-代數(shù)的函數(shù)。如果對(duì)于所有 A-求值這個(gè)函數(shù)把一個(gè)公式映射到 1（或 0），則這個(gè)公式是一個(gè) A-重言式。因此對(duì)于無(wú)窮值邏輯（比如模糊邏輯、武卡謝維奇邏輯），我們?cè)O(shè) [0,1] 是 A 的下層集合來(lái)獲得 [0,1]-求值和 [0,1]-重言式（經(jīng)常就叫做求值和重言式）。Chang 發(fā)明 MV-代數(shù)來(lái)研究波蘭數(shù)學(xué)家揚(yáng)·武卡謝維奇（Jan ?ukasiewicz）在 1920 年介入的多值邏輯。Chang 的完備定理(1958, 1959) 聲稱任何在 [0,1] 區(qū)間成立的 MV-代數(shù)等式也在所有 MV-代數(shù)中成立。通過(guò)這個(gè)定理，證明了無(wú)窮值的武卡謝維奇邏輯可以被 MV-代數(shù)所刻畫。后來(lái)同樣適用于模糊邏輯。這類似于在 {0,1} 成立的布爾代數(shù)等式在任何布爾代數(shù)中也成立，布爾代數(shù)因此刻畫了標(biāo)準(zhǔn)二值邏輯。

應(yīng)用模糊邏輯可以用于控制家用電器比如洗衣機(jī)(它感知裝載量和清潔劑濃度并據(jù)此調(diào)整它們的洗滌周期)和空調(diào)。

基本的應(yīng)用可以特征化為連續(xù)變量的子范圍(subranges)，形狀常常是三角形或梯形。例如，防鎖剎車的溫度測(cè)量可以有正確控制剎車所需要的定義特定溫度范圍的多個(gè)獨(dú)立的成員關(guān)系函數(shù)（歸屬函數(shù) / Membership function）。每個(gè)函數(shù)映射相同的溫度到在 0 至 1 范圍內(nèi)的一個(gè)真值且為非凹函數(shù)(non-concave functions)（否則可能在某部分溫度越高卻被歸類為越冷）。接著這些真值可以用于確定應(yīng)當(dāng)怎樣控制剎車。

在右圖中，冷、暖和熱是映射溫度范圍的函數(shù)。在這個(gè)刻度上的一個(gè)點(diǎn)有三個(gè)"真值" — 每個(gè)函數(shù)一個(gè)。對(duì)于展示的特定的溫度，這三個(gè)真值可以被解釋為把溫度描述為，"相當(dāng)冷", "有些暖" 和 "不熱"。

通常情況會(huì)采用梯形，但在作模糊回歸分析時(shí)則會(huì)選用三角形的歸屬函數(shù)。

模糊邏輯通常使用 IF/THEN 規(guī)則，或構(gòu)造等價(jià)的東西比如模糊關(guān)聯(lián)矩陣。

規(guī)則通常表達(dá)為如下形式:

IF 模糊變量 IS模糊集合THEN動(dòng)作

例如，一個(gè)非常簡(jiǎn)單的使用風(fēng)扇的溫度調(diào)節(jié)器:

IF 溫度 IS 非常冷 THEN 停止風(fēng)扇

IF 溫度 IS 冷 THEN 減速風(fēng)扇

IF 溫度 IS 正常 THEN 保持現(xiàn)有水平

IF 溫度 IS 熱 THEN 加速風(fēng)扇

注意沒(méi)有 "ELSE"。所有規(guī)則都被求值，因?yàn)闇囟仍诓煌潭壬峡梢酝瑫r(shí)是"冷"和"正常"。

在模糊邏輯中存在著布爾邏輯的 AND、OR 和 NOT運(yùn)算符，它們通常定義為最小、最大和求補(bǔ)；在以這種方式定義它們的時(shí)候，它們叫做Zadeh 運(yùn)算符，因?yàn)樗鼈兪窃?Zadeh 最初論文中首次定義的。對(duì)于模糊變量 x 和 y:

NOT x = (1 - truth(x))x AND y = minimum(truth(x), truth(y))x OR y = maximum(truth(x), truth(y))還可以應(yīng)用叫做hedges的更貼近自然語(yǔ)言其他的運(yùn)算符。一般性的副詞如"非常"或"有點(diǎn)"能使用數(shù)學(xué)公式修改集合的內(nèi)涵。

編程語(yǔ)言在應(yīng)用中，編程語(yǔ)言 ProLog 由于有架設(shè)被演繹邏輯問(wèn)訊的"規(guī)則"的數(shù)據(jù)庫(kù)設(shè)施而很適合實(shí)現(xiàn)模糊邏輯。這種編程叫做邏輯編程。

研究對(duì)象欲弄清模糊邏輯的研究對(duì)象首先必須得清楚邏輯的研究對(duì)象，因?yàn)槟：壿嬛徊贿^(guò)是在經(jīng)典邏輯的基礎(chǔ)之上發(fā)展起來(lái)的一門分支學(xué)科。只要搞清楚了邏輯的研究對(duì)象，那么模糊邏輯的研究對(duì)象也就容易理解了。那么到底什么是邏輯的研究對(duì)象呢?對(duì)這個(gè)問(wèn)題有著各式各樣的回答?！?/p>

關(guān)于邏輯的對(duì)象，從大的方面說(shuō)，可以分為以下幾種觀點(diǎn)：

(1)邏輯是研究思維的；

(2)邏輯是研究客觀世界的；

(3)邏輯是研究語(yǔ)言的；

(4)邏輯是研究推理形式的有效性的?！?/p>

這是國(guó)內(nèi)著名的邏輯學(xué)學(xué)者陳波所作出的歸納。在書(shū)中陳波對(duì)以上四種觀點(diǎn)進(jìn)行了一一的剖析，指出了各種觀點(diǎn)的優(yōu)劣所在。最后他提出了自己的看法，他認(rèn)為邏輯的研究對(duì)象是推理形式的有效性。這一觀點(diǎn)在張清宇主編的《邏輯哲學(xué)九章》中李小五撰寫的第一章《什么是邏輯》也得到了認(rèn)可。通俗地說(shuō)就是：邏輯研究的對(duì)象就是推理的正確性。更嚴(yán)格(更帶學(xué)術(shù)性)地說(shuō)就是：邏輯研究的對(duì)象就是推理形式的有效性。

邏輯研究的對(duì)象就是推理形式的有效性這一觀點(diǎn)得到了大多數(shù)學(xué)者和專家的認(rèn)可，我本人對(duì)這一觀點(diǎn)也無(wú)異議。弄清楚了邏輯的研究對(duì)象進(jìn)而就可以進(jìn)入我所要談?wù)摰膯?wèn)題了，模糊邏輯的研究對(duì)象又是什么呢?在這里，我想從如下幾個(gè)方面來(lái)加以討論：

(1)模糊邏輯的產(chǎn)生背景。人類對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)大致可以劃分為兩類，一類是精確的現(xiàn)象，它可以用精確的語(yǔ)言來(lái)加以描述。例如，2+2=4；貴陽(yáng)市是貴州省的省會(huì)；茅臺(tái)酒是中國(guó)的國(guó)酒，等等?？梢钥闯鲞@一類現(xiàn)象它們都具有精確的定義和性質(zhì)。但是，在現(xiàn)實(shí)世界中還有一類難以被精確的描述和定義的現(xiàn)象。例如，花溪是個(gè)風(fēng)景優(yōu)美的地方(究竟何為風(fēng)景優(yōu)美呢?)：他的父親是個(gè)高個(gè)子(多高為高個(gè)子呢?)；張老師是個(gè)中年人(中年人被定義為多少歲呢?)，等等。諸如此類的現(xiàn)象數(shù)不勝數(shù)，與“精確現(xiàn)象”相對(duì)應(yīng)我們稱之為“模糊現(xiàn)象”。為了用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)手段去研究模糊現(xiàn)象、分析模糊性質(zhì)，模糊數(shù)學(xué)應(yīng)運(yùn)而生。而模糊邏輯就是在模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之上派生出來(lái)的分支學(xué)科之一。

(2)模糊邏輯的研究對(duì)象。前面已經(jīng)提及邏輯的研究對(duì)象是推理形式的有效性，而具體到模糊邏輯來(lái)說(shuō)，它的研究對(duì)象就是模糊推理的有效性。那么什么又是模糊推理呢?模糊推理和精確推理它們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系呢?下面將對(duì)這些問(wèn)題作出討論。

首先，我們來(lái)看看什么是模糊推理，與精確推理一樣，模糊推理也由概念、判斷這些基本的邏輯元素組成，但是模糊推理有自己獨(dú)特的推理方式。模糊推理所推出的結(jié)論并不具有絕對(duì)的真假，它的結(jié)論只能用隸屬度來(lái)刻畫，例如前例中的張老師是個(gè)中年人，這是一個(gè)很典型的模糊判斷句，在這里我們就不能用傳統(tǒng)邏輯中的絕對(duì)的真假來(lái)刻畫中年人這一概念了，比如40歲是中年人為真，難道41歲是中年人就被看做是假的嗎?因?yàn)樵诙颠壿嬛兄挥姓婧图龠@兩種結(jié)論。對(duì)于二值邏輯中這一無(wú)能為力的問(wèn)題在模糊邏輯中卻能輕易的解決，我們用查德表示法來(lái)描述這一事例，查德表示法是通過(guò)分式的和來(lái)表示模糊集合中的所有元素及其隸屬度，其中分母代表元素，分子代表隸屬度。上例我們可以表示為(A)=(0.5/張老師)，意思是說(shuō)張老師是中年人從程度上來(lái)說(shuō)只有0.5。這里就拋開(kāi)了絕對(duì)的真假。但對(duì)于模糊的現(xiàn)象也做出了精確的刻畫，之所以要對(duì)模糊現(xiàn)象精確化主要是為了模糊推理能夠在機(jī)器上實(shí)現(xiàn)。

其次，對(duì)有效性進(jìn)行討論。陳波對(duì)推理的有效性進(jìn)行了比較精辟的歸納，并提出了五點(diǎn)要求，他認(rèn)為一個(gè)推理是否有效最好能夠同時(shí)滿足以下五個(gè)條件：(1)保真性。(2)內(nèi)容相關(guān)性。(3)獨(dú)立性。(4)題材中立性或普遍適用性。(5)簡(jiǎn)單性。雖然陳波提出了這樣一個(gè)框架，但是對(duì)于任何一種邏輯推理要同時(shí)滿足如上五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)幾乎是不可能的。這里我只針對(duì)模糊邏輯的有效性發(fā)表自己的一些淺顯看法。在模糊邏輯中通常用到的推理有模糊假言推理和模糊條件推理，其中，模糊假言推理又最具有代表性。模糊假言推理之定義是：已知模糊命題A(大前提)包含模糊命題B。如存在與A不完全相同的模糊命題A1(小前提)，則能推出相應(yīng)的結(jié)論.我們把這個(gè)推理過(guò)程稱為模糊假言推理。例如：

(1)若吃的東西營(yíng)養(yǎng)豐富，則人的身體會(huì)好；那么若吃的東西營(yíng)養(yǎng)比較豐富，則人的身體會(huì)怎樣?

(2)若中國(guó)在清朝晚期很強(qiáng)大，則不會(huì)被帝國(guó)主義國(guó)家欺負(fù)；那么若中國(guó)在清朝晚期不是很強(qiáng)大，則會(huì)不會(huì)被帝國(guó)主義國(guó)家欺負(fù)?

由于模糊假言推理的大小前提都是模糊的，所以其結(jié)論也是模糊的。這與傳統(tǒng)邏輯所要求的精確性是完全不同的，那么應(yīng)該如何對(duì)模糊推理進(jìn)行精確的描述以使之能夠?yàn)闄C(jī)器所識(shí)別呢?我們可以從人的經(jīng)驗(yàn)和模糊數(shù)學(xué)兩個(gè)方面來(lái)加以討論。1

創(chuàng)立和研究模糊邏輯的意義（1）運(yùn)用模糊邏輯變量、模糊邏輯函數(shù)和似然推理等新思想、新理論，為尋找解決模糊性問(wèn)題的突破口奠定了理論基礎(chǔ)，從邏輯思想上為研究模糊性對(duì)象指明了方向。

（2）模糊邏輯在原有的布爾代數(shù)、二值邏輯等數(shù)學(xué)和邏輯工具難以描述和處理的自動(dòng)控制過(guò)程、疑難病癥的診斷、大系統(tǒng)的研究等方面，都具有獨(dú)到之處。

（3）在方法論上，為人類從精確性到模糊性、從確定性到不確定性的研究提供了正確的研究方法。

此外，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究方面，模糊邏輯有助于解決某些悖論。對(duì)辯證邏輯的研究也會(huì)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。當(dāng)然，模糊邏輯理論本身還有待進(jìn)一步系統(tǒng)化、完整化、規(guī)范化。

其他例子如果一個(gè)人的高度是 1.8 米，把他考慮為高:

IF male IS true AND height >= 1.8 THEN is_tall IS true

IF male IS true AND height >= 1.8 THEN is_short IS false

但上述的定義卻是不現(xiàn)實(shí)的。因此，在模糊規(guī)則下，在高和矮之間不做明顯的區(qū)分:

IF height >= medium male THEN is_short IS agree somehow

IF height >= medium male THEN is_tall IS agree somehow

在模糊的情況下，沒(méi)有像 1,83 米這樣的高度，只有模糊值，比如下列賦值:

dwarf male = [0, 1.3]

msmall male = (1.3, 1.5]

medium male = (1.5, 1.8]

tall male = (1.8, 2.0]

giant male > 2.0 m對(duì)于結(jié)論，也不只是兩個(gè)值，而是五個(gè):

agree not = 0

agree little = 1

agree somehow = 2

agree alot = 3

agree fully = 4

在二值或"脆弱"的情況下，高度為 1.79 米的一個(gè)人可能被認(rèn)為是矮。如果另一個(gè)人的高度是 1.8 米或 2.25 米，這些人才被當(dāng)作是高。

這個(gè)脆弱的例子故意的區(qū)別于模糊的例子。我們?cè)谇疤嶂胁荒芊胖?/p>

IF male >= agree somehow AND ...因?yàn)樾詣e經(jīng)常被認(rèn)為是二值信息。所以不象身高這么復(fù)雜。