薛定諤的愛情與狄拉克的996

薛定諤的愛情與狄拉克的996

《哈姆雷特》中有句名言 ”天地之間有許多事情，按你們的哲學(xué)連做夢都想不到的“，量子力學(xué)就是這些事情其中之一。這個時代如果你說自己不懂量子力學(xué)，沒有人可以責(zé)怪你，但是如果你還沒有聽說過量子論，就徹底o(hù)ut了。量子的時代已經(jīng)被激發(fā)，信息時代到量子時代的能級躍遷也一觸即發(fā)。那將是一個懵懵懂懂的、神秘的、疊加的、測不準(zhǔn)的、一不小心就坍縮的、靠著本征態(tài)與概率支撐起來的世界。

偉大的時代

帶領(lǐng)人們一窺這個玄妙世界的偉大物理學(xué)家，不是大名鼎鼎的愛因斯坦，而是下圖中包括愛因斯坦本尊的多位：普朗克、波爾、德布羅意、海森伯、薛定諤、狄拉克、泡利還有波恩。1900-1930年是人類歷史上的偉大時代，這些大師們都開掛了似的，頗有些百家爭鳴的味道，而對現(xiàn)在人來說，其中要數(shù)薛定諤最耳熟能詳，筆者認(rèn)為主要得益于三件事情：薛定諤的貓，薛定諤的滾，還有其著名的薛定諤方程。

事情可以從熱力學(xué)說起，麥克斯韋的分子運動論描述了分子速度的概率分布，而玻爾茲曼則用概率與熵建立起了微觀隨機(jī)狀態(tài)與宏觀物理量之間的關(guān)系。黑體輻射與紫外災(zāi)難又迫使普朗克沿著玻爾茲曼的思路推導(dǎo)出來 e=hf, h是個微小的常數(shù)，能量子的能量e與且僅與其震動頻率f成正比。接著伯爾尼專利局的年輕職員愛因斯坦受到玻爾茲曼與普朗克的啟發(fā)，用光子成功解釋了光電效應(yīng)。進(jìn)一步波爾量子化了原子內(nèi)部軌道，理論化了能級躍遷；泡利提出了量子態(tài)的一山不容二電子；波爾又順勢解釋了門捷列夫的元素周期表，我知道這個你熟。

愛因斯坦預(yù)言光既是粒子又是波，而法國王子德布羅意說：這都不是事，所有的物質(zhì)都有波動性，讓我們仔細(xì)觀察一下e=hf, f 是什么，f 顯然描述了原子內(nèi)部的某種內(nèi)在的“周期運動”，h/p=λ，光子波長減小，動量增加，因而我推斷電子在原子中以圓形的駐波運動，所以就有了基頻與倍頻的離散頻率，這就是量子性。此處你有沒有意識到點什么，對，原來世界還是傅里葉的。

量子的時代，至此，其實才剛剛開啟一個門縫，直到大神薛定諤，還有兩個毛頭小伙海森伯與狄拉克加入戰(zhàn)隊，新量子的偉大時代才揭開她神秘的面紗。坊間有不少傳聞，不知道海森伯是不是受到傅里葉級數(shù)的啟發(fā)，他在山上躲避花粉過敏、孤獨仰望星空的時悟出了符號乘法，后被波恩發(fā)展成矩陣力學(xué)；而科研工作不斷需要新愛情激勵的薛定諤，卻是在浪漫的旅社里幽會時，靈光閃現(xiàn)，構(gòu)造出舉世聞名的薛定諤方程；此時天才的清教徒狄拉克還在如寺院般寧靜的劍橋河畔不知疲倦的帶著盒飯散步，受海森伯啟發(fā)，狄拉克將連續(xù)場看成小塊塊，用狄拉克方程一統(tǒng)量子力學(xué)與相對論。這一切來的太集中、太突然，不能肯定是不是被遙遠(yuǎn)的外星文明糾纏，可以肯定的是，薛定諤在求解波動方程時，使用了傅里葉的本征函數(shù)的方法。偉大的思想總是不斷傳承。

量子的世界

一維薛定諤方程：

三維薛定諤方程：

定態(tài)薛定諤方程：

薛定諤創(chuàng)造上述方程的故事你要八卦一下，但是別想太多，天底下也就一個薛定諤，許許多多人都有被愛情激勵的時刻，只有薛定諤從中悟出了方程。自打薛定諤找到波函數(shù)這個錘子，什么在他眼里都變成了釘子，他心目的原子模型，也就不再是我們耳熟能詳?shù)男√栂盗耍歉鞣N波包的疊加，直到被洛倫茲老先生點醒。你看，普羅大眾都擁有自由的潛力，而偉大的人卻各有各的局限。波恩，就是那個幫助海森伯發(fā)展出來矩陣力學(xué)的波恩，在玻爾茲曼用概率處理微觀復(fù)雜性的思想指引下，引入概率波解釋原子體系，成為主流的量子力學(xué)詮釋。薛定諤不干了，他牽出他的病貓。

概率波詮釋到底是不是權(quán)宜之計？大神們沒有結(jié)論，很多神秘的現(xiàn)象也還不能解釋。任何試圖解釋這些現(xiàn)象的努力，都很容易被認(rèn)為是民科（民間科學(xué)家，你懂的，這不是什么褒義詞），除非你是大學(xué)教授。冒著被罵民科的風(fēng)險，我們用自己的語言來理解一下這個方程：她優(yōu)雅的描述了波函數(shù)的時間變化率（右側(cè)）與波函數(shù)的空間變化率（左一），以及波函數(shù)在空間中的勢（左二）之間的確定的關(guān)系。大膽猜測她是動量守恒與能量守恒應(yīng)用于量子層級的變體。Ψ是一種概率分布，或者某種真實的分布只是我們不可能獲知細(xì)節(jié)，但即便我們搞不清這個分布的內(nèi)部細(xì)節(jié)，我們也知道她不可能出現(xiàn)能量動量不守恒的情況，如果是概率分布，整體概率之和是1，但得承認(rèn)這是我們所能知道的一切。

薛定諤因為他的杰出發(fā)現(xiàn)，獲得了1933年諾貝爾物理學(xué)獎。很多人不知道，跟他分享這一殊榮的，就是史上最低調(diào)的，連諾獎都想放棄的天才，狄拉克。對于這個安靜到有些孤僻，甚至被懷疑些許自閉的學(xué)者，波爾曾這樣評價，“在所有物理學(xué)家中，狄拉克擁有最純潔的靈魂”，他最大的業(yè)余愛好就是‘散步’，996式的，甚至周日也帶著午餐散步一整天，在劍橋校園里，圍著靜美的康河。他電話試圖拒絕諾獎時，考慮的是諾獎會打擾他 996 的田園詩，而回復(fù)是：如果你不接受，媒體更會 996 打擾你。狄拉克的哥哥因抑郁（懷疑自閉）而自殺，家庭的不幸，沒有阻擋住這位”降落凡間的外星人“，”在物理學(xué)和數(shù)學(xué)的世界里踽踽獨行“，成為與牛頓、愛因斯坦比肩的最偉大的物理學(xué)家之一。所以請善待身邊的每個人，特別是看似自閉的兒童，他們或許都像狄拉克一樣，是宇宙創(chuàng)造的特立獨行的天使。

四維狄拉克方程：

化簡形式一：

化簡形式二：

方程式之美，遠(yuǎn)比符合實驗結(jié)果更重要，這是狄拉克的信仰。他的物理與數(shù)學(xué)世界是充滿美感的，對于-1/2自旋粒子而言，狄拉克方程可以作為薛定諤方程引入相對論影響的泛化形式，或者說薛定諤方程是狄拉克方程的非相對論特例。她完美的整合了相對論與量子力學(xué)，成為當(dāng)代物理中最美最強(qiáng)大的方程之一?！澳阌昧Ｗ佑^念看就得到粒子性質(zhì)，用波動觀念看就得到波動性質(zhì)”。從四維方程形式也容易看出，她同樣優(yōu)雅的描述了波函數(shù)Ψ 的時間變化率（左側(cè)）與波函數(shù)的空間變化率（右一），以及波函數(shù)的某種勢（右二）之間的確定的關(guān)系。狄拉克還借此預(yù)言了正電子的存在，后由實驗證實。

試想象一下，在原子內(nèi)部的如此微小的空間中，什么力量可以驅(qū)動量子加速到接近光速？靠燃燒自身的質(zhì)量嗎（）,這難道就是“瘦成一道閃電”的物理原理？！又是什么力量讓量子慢下腳步好好欣賞沿途的風(fēng)景？降低的速度對應(yīng)的能量會“堆積”回質(zhì)量嗎？加速成光波，減速成粒子，你就是這樣的波粒二象性？量子以接近光的速度在原子的微小空間中運動，是一種什么景象？眼花繚亂還是飄忽不定還是如鬼魅幽靈般的存在？越想越民科，越想越容易走火入魔。據(jù)說波爾選擇了太極圖作為其爵士勛章，我沒有考證，但激發(fā)了華夏多少大師，請出先祖伏羲的太極八卦，“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”，奉為上古失傳的量子力學(xué)教程。

量子計算

狄拉克奠定了量子場論，后來費曼等人進(jìn)一步發(fā)展其理論成為量子電動力學(xué)。也就是這個擅長玩概念的、首次提出納米科學(xué)的費曼，1981年首次提出了量子計算與量子計算機(jī)的概念。天才都是如此相似，生活在概念化的抽象世界中。量子計算是面向指數(shù)型增長、龐大到經(jīng)典計算機(jī)無法企及的計算規(guī)模的，所以直到經(jīng)典計算機(jī)算力漸趨逼近物理極限的當(dāng)下，量子計算才逐步成為研發(fā)熱點，以應(yīng)對未來更廣泛深入的信息化、大數(shù)據(jù)與人工智能等等應(yīng)用對于算力的渴求。

雖然量子在測量的時候會坍縮到非此即彼的狀態(tài)，但是我們或許永遠(yuǎn)也搞不懂那個測不準(zhǔn)的、疊加的由本征態(tài)與概率支撐起來的世界。經(jīng)典計算機(jī)一個比特（bit）非0即1，兩個bit排列組合，也就能承載00、01、10、11四種可能的信息，N個bit承載2的N次方的信息。量子計算則不然，一個量子世界的比特（qubit）, 可以擁有兩個選擇的自由，游走于其間或向0或向1；兩個qubit也就有了四個選擇自由（00、01、10、11），她處在四個自由度的聯(lián)合概率分布中，N個量子比特則擁有2的N次方的自由度。也就是說，薛定諤這只貓可以自由選擇自己的生死，可生，可死，或者（1/) 生加上 (1/)) 死。

這些自由度不是別的，就是那些離散的量子態(tài)。把他們看成向量，作為正交基底，構(gòu)建的起來的向量空間，是所有量子狀態(tài)（包括superposition疊加態(tài)）存在的空間。死貓是一個向量，活貓是一個向量，薛定諤的貓的疊加態(tài)就是二者構(gòu)成空間中的一個向量。2的平方根看起來怪異？想想整體概率之和需要等于 1 。薛定諤的貓當(dāng)然也可能處于這樣的狀態(tài)：（1/2+1/2i) |死> + (1/2 - 1/2i) |活>，別擔(dān)心這里的復(fù)數(shù)，請把 i 看成角度。|> 是狄拉克符號，權(quán)且把它當(dāng)成一個向量。這可以形象化為下圖中的Bloch sphere球。堅持看到這里，精神有點恍惚莫名焦慮？莫擔(dān)心，費曼說：“我可以很確定的告訴大家，沒有人真正了解量子力學(xué)”；導(dǎo)師們也常用這種觀點來指導(dǎo)抱怨量子力學(xué)的研究生：閉上嘴，只管算（“Shut up and calculate”）。

并行是量子計算的精髓，qubit作為量子計算的核心，有著驚人的信息編碼能力，量子系統(tǒng)則具備內(nèi)在的并行特性。為操作qubit， 相對于操作bit的傳統(tǒng)計算機(jī)的NOT，AND，OR，XOR等邏輯門，量子計算也構(gòu)造了眾多的量子門，而這些量子門又進(jìn)一步排列組合構(gòu)成復(fù)雜的量子電路。值得強(qiáng)調(diào)的是，把量子態(tài)表述為向量是創(chuàng)舉，量子態(tài)之間的轉(zhuǎn)換就能夠借助線性代數(shù)的成熟工具描述，例如量子門就可表示成各種酉矩陣（U 與其共軛轉(zhuǎn)置U' U'U = I 單位陣）。酉性質(zhì)很重要，它能夠保持向量間的內(nèi)積及向量的范數(shù)，酉性限制是對量子門的唯一限制。整個量子計算與量子信息的理論，就是很好的《當(dāng)代應(yīng)用線性代數(shù)與概率論》教材。

將量子比特的疊加與并行的特性應(yīng)用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會不會有顛覆式的效果呢？自路易斯安那州立大學(xué)Kak 教授1995年開創(chuàng)量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（QNN - Quantum Neural Network）以來，包括Google,Xanadu等在內(nèi)的科研團(tuán)隊，做了廣泛的富有成效的探索。去年底意大利科研人員實打?qū)嵲诹孔佑嬎銠C(jī)上實現(xiàn)了人造神經(jīng)元，量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不再是水中月鏡中花，著實讓行業(yè)興奮了好一陣子，正如今天發(fā)布人類首次拍到的黑洞照片。去年年初加州大學(xué)物理學(xué)家Matthew Fisher在《物理學(xué)年鑒》發(fā)文稱磷原子的核自旋可以作為大腦中的初級“量子比特”，這使大腦能夠像一個量子計算機(jī)那樣運作，語驚四座。普通人對此難辨真假，但是堅信人類“判天地之美，析萬物之理”的步伐永無止息。

“水波離開了它產(chǎn)生的地方，而那里的水并不離開，就像風(fēng)在田野里掀起的麥浪，我們看到，麥浪滾滾地向田野里奔去，但是麥子卻仍停留在原來的地方”，這是達(dá)芬奇眼里的波?！吧系塾幸欢褬?biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)，他任意地挑其中的一些出來，能組成宇宙萬物。這些正弦函數(shù)從最開始就沒有變過，我們看到的變化都是組合的變化”，這是傅里葉眼里的波。達(dá)芬奇看到了美妙的畫面，而傅里葉體察出宇宙的本源。

波爾說“誰要是第一次聽到量子理論時沒有感到困惑，那他一定沒聽懂”，所以你最好多讀幾遍本文?，F(xiàn)在距離那個外星意識糾纏地球的偉大時代已經(jīng)近一個世紀(jì)了，量子力學(xué)的大神們在名人的殿堂里，依然熠熠生輝。如今我們有了量子物理、量子化學(xué)、量子生物學(xué)、量子計算、量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) ……，代表我們這個世紀(jì)最偉大的發(fā)現(xiàn)又在哪里？是不是已然到來？我知道那肯定不是大數(shù)據(jù)或人工+智能，大智物云區(qū)塊鏈都無法扛起這面大旗，而我們的工程師還在 996 辛苦掙扎中，一邊量子化自己的發(fā)量，一邊奢望美好的愛情。

參考文獻(xiàn)

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http://mathworld.wolfram.com/DiracEquation.html

http://www.michaelnielsen.org/qcqi/QINFO-book-nielsen-and-chuang-toc-and-chapter1-nov00.pdf

https://www.amazon.com/Introducing-Quantum-Theory-Sciences-Discovery/dp/1840468505

https://medium.com/@jonathan_hui/qc-what-are-qubits-in-quantum-computing-cdb3cb566595

https://ai.googleblog.com/2018/12/exploring-quantum-neural-networks.html

http://muchong.com/html/200506/93984.html

https://arxiv.org/abs/1811.02266

作者：王慶法，數(shù)據(jù)領(lǐng)域?qū)＜?，首席?shù)據(jù)官聯(lián)盟專家組成員