介值定理

定理

介質(zhì)定理是微積分中的一個(gè)重要定理，此定理敘述了有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。4

介值定理說明如下。

考慮實(shí)數(shù)域上的區(qū)間 以及在此區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 。那么，

（1）如果u是在f(a)和f(b)之間的數(shù)，也就是說：

那么，存在 使得 。

（2）值域 也是一個(gè)區(qū)間，或者它包含 ，或者它包含 。2

與完整性的關(guān)系

定理取決于，或者說等價(jià)于實(shí)數(shù)的完整性。 介值定理不適用于有理數(shù)Q，因?yàn)橛欣頂?shù)之間存在無理數(shù)。 例如，函數(shù) 滿足 。 然而，不存在有理數(shù)x使得 ，因?yàn)?img src="https://pqnoss.kepuchina.cn/url/2024/03/04/20240304114351_70bfdc.jpg" alt="" title="%5Csqrt%7B2%7D" /> 是一個(gè)無理數(shù)。

證明

該定理可以根據(jù)實(shí)數(shù)的完整性來證明：

我們將證明第一種情況， ，第二種情況類似。

讓S是[a，b]中的所有x的集合，讓 。S是非空的因?yàn)閍是S的元素，并且b是S的邊界。 因此，通過完整性，存在上限 。 也就是說，c是大于或等于S的每個(gè)元素的最小數(shù)。我們稱 。

存在 。 由于f是連續(xù)的，當(dāng) 時(shí)，存在 ，使得 。 這意味著

對于所有的 ，存在屬于S的 ，使得

選擇 ，這顯然不會(huì)包含在S中，所以我們有

兩種不等式

對于所有的 都是成立的，如我們所說，我們推導(dǎo)出 是唯一可能的值。

介值定理也可以使用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法來證明，這在非常嚴(yán)格的基礎(chǔ)上提出了涉及無限小數(shù)的“直觀”論證。 （見文章：非標(biāo)微積分）

歷史

對于上面的u = 0，該聲明也稱為博爾扎諾定理。這個(gè)定理在1817年被伯納德·博爾扎諾（Bernard Bolzano）首次證明。奧古斯丁 - 路易·柯西在1821年提供了一個(gè)證據(jù)。兩者的靈感來自于對約瑟夫·路易斯拉格朗日函數(shù)的分析正式化的目標(biāo)。連續(xù)函數(shù)具有中間值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通過提供用于構(gòu)造解的十進(jìn)制擴(kuò)展的算法，證明了多項(xiàng)式的介值定理（以立方為例）。該算法迭代地將間隔細(xì)分為10個(gè)部分，在迭代的每個(gè)步驟產(chǎn)生一個(gè)附加的十進(jìn)制數(shù)字。在給出連續(xù)性的正式定義之前，將介值作為連續(xù)函數(shù)定義的一部分。支持者包括路易斯·阿博加斯特（Louis Arbogast），沒有跳躍的函數(shù)滿足介值定理，并且具有尺寸對應(yīng)于變量大小的增量。早期的作者認(rèn)為結(jié)果是直觀的，不需要證明。博爾扎諾和柯西的觀點(diǎn)是定義一個(gè)連貫性的概念（就柯西案中的無限小數(shù)而言，在博爾扎諾案中使用實(shí)際的不平等），并提供基于這種定義的證據(jù)。

反介值定理是錯(cuò)的

“Darboux函數(shù)”是具有“介值屬性”的實(shí)值函數(shù)f，即滿足介值定理的結(jié)論：對于f的域中的任何兩個(gè)值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之間有一些c，f（c）= y。介值定理說每個(gè)連續(xù)函數(shù)都是一個(gè)Darboux函數(shù)。但是，并不是每個(gè)Darboux功能都是連續(xù)的；即介值定理的相反是錯(cuò)的。

例如，對于x> 0和f（0）= 0，取 定義的函數(shù) 在x = 0時(shí)連續(xù)，這個(gè)函數(shù)在x=0處不連續(xù)，但是該函數(shù)具有介值屬性。

歷史上，這個(gè)介值屬性被建議為實(shí)數(shù)函數(shù)連續(xù)性的定義，但這個(gè)定義沒有被采納。

Darboux定理指出，由某些區(qū)間上某些其他函數(shù)的區(qū)分產(chǎn)生的所有函數(shù)都具有介值屬性（盡管它們不需要連續(xù)）。

應(yīng)用

介值定理是數(shù)學(xué)分析中最基本的原理之一，但是它只對一維情形成立。5

定理意味著，在世界各地的任何一個(gè)大環(huán)境中，對于溫度，壓力，高程，二氧化碳濃度來說，如果是連續(xù)變化的，那么總是會(huì)存在兩個(gè)與該變量相同值的對映點(diǎn)。

證明：將f作為圓上的任何連續(xù)函數(shù)。在圓的中心繪制一條線，在兩個(gè)相對的點(diǎn)A和B處與其相交。令d由差 定義。如果線旋轉(zhuǎn)180度，將取代值-d。由于介值定理，必須有一些中間旋轉(zhuǎn)角，其中d = 0，因此 在該角度。

對于任何封閉的凸n（n> 1）尺寸形狀。具體來說，對于其領(lǐng)域是給定形狀的任何連續(xù)函數(shù)，以及形狀（不一定是其中心）內(nèi)的任何點(diǎn)，相對于函數(shù)值相同的給定點(diǎn)存在兩個(gè)對象點(diǎn)。證明與上述相同。

這個(gè)定理也是為什么旋轉(zhuǎn)搖擺表將使其變得穩(wěn)定的解釋（受到某些容易遇到的限制）。3

特殊情況

如果f(a)與f(b)異號(hào)，那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ<b)，則符合零點(diǎn)定理。1

幾何意義

連續(xù)曲線弧y=f(x)與水平直線y=C至少相交于一點(diǎn)。特別地，如果A與B異號(hào)，則連續(xù)曲線與x軸至少相交一次。

定理推廣

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)的值域?yàn)殚]區(qū)間[m,M]，其中m與M依次為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值。1