黃金分割比

定義

黃金分割比，也被稱為費波那契數(shù)列或黃金比例，是數(shù)學中的一種特殊比例關(guān)系。它的定義是，將一條線段分為兩部分，使得較長部分與整條線段的比等于較短部分與較長部分的比，這個比值就是黃金分割比。

黃金分割比通常用希臘字母Φ（Phi）表示。它是一個無理數(shù)，其近似值通常取0.618。

黃金分割奇妙之處，在于其比例與其倒數(shù)是一樣的，通過簡單的計算就可以發(fā)現(xiàn)：

0.618/1=1/0.618

(1-0.618)/0.618=0.618

原理

讓我們首先從一個數(shù)列開始，它的前面幾個數(shù)是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數(shù)列的名字叫做"菲波那契數(shù)列"，這些數(shù)被稱為"菲波那契數(shù)"。特點是除前兩個數(shù)（數(shù)值為1）之外，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和。

菲波那契數(shù)列與黃金分割有什么關(guān)系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個菲波那契數(shù)的比值隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比，即f(n-1)/f(n)-→0.618…。由于菲波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以它只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數(shù)。但是，當我們繼續(xù)計算出后面更大的菲波那契數(shù)時，就會發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實非常接近黃金分割比。

舉例

五角星非常美麗，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什么？因為，五角星中的所有線段長度關(guān)系都符合黃金分割比，展示了黃金分割的美麗。正五邊形的對角線連滿后，所有形成的三角形也都是黃金分割三角形。

五角星的頂角為36度，這也可以計算黃金分割的數(shù)值：2sin(18°)≈0.618。

將一條線段分割為兩部分，使得較長的那部分與原線段長度的比例等于黃金分割比的點，被稱為黃金分割點。在一條線段上存在兩個黃金分割點。

利用這兩個黃金分割點，我們可以輕松繪制出正五角星和正五邊形。

應用

黃金分割是一種被廣泛應用于藝術(shù)和建筑中的比例關(guān)系，具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。

在建筑方面，黃金分割比被用來確定建筑物的比例和尺寸。在我國的馬王堆漢墓出土的文物中，就有按照黃金分割比制作的長寬。古埃及的金字塔、巴黎的圣母院、法國的埃菲爾鐵塔、希臘雅典的巴特農(nóng)神廟等著名建筑都運用了黃金分割比。在藝術(shù)領(lǐng)域，黃金分割比也被藝術(shù)家們廣泛運用在自己的作品中。在西方的藝術(shù)史中，人物經(jīng)常使用黃金分割比進行刻畫，如達芬奇的《蒙娜麗莎》、《最后的晚餐》，以及拉斐爾的《花園中的母與子》等畫作。

巴托克音樂中對黃金分割法則體現(xiàn)得淋漓盡致，令人驚嘆不己，它集中反映在作品曲式結(jié)構(gòu)與音程法則中。關(guān)于巴托克音樂作品中對曲式結(jié)構(gòu)的邏輯性表現(xiàn)為高度的均衡感和適度感，高度的對稱和統(tǒng)一特征。由此看來，作品內(nèi)部比例和黃金標界的規(guī)律是有著密切的聯(lián)系的，蘭德衛(wèi)稱這種聯(lián)系不下于維也納古典樂派的方整型樂段在樂曲結(jié)構(gòu)方面的重要性。巴托克的大量作品中，樂曲的高潮恰好在黃金分割點上，即樂曲總長乘以0.618得出的積為樂曲的高潮點。因此，把樂曲可分成長段(總長×0.618)與短段(也可理解為總長×0.382)兩大部分，即正方與負方。黃金標界除表現(xiàn)在樂曲總長上外，還可表現(xiàn)在各分段上，長段又可分為兩部分，短段也可分為兩部分，法則與黃金分割法相同。這樣就形成了長段—短段—黃金分割點—短段—長段的對稱圖式，可稱之為“對稱軸”，軸心在黃金時代分割點上。此處的“軸心”原理與對稱軸在意義上有所不同，它不是以線段長度的數(shù)字為依據(jù)，而是以音樂情緒發(fā)展為依據(jù)。此處的數(shù)字只是體現(xiàn)了黃金分割在結(jié)構(gòu)造型上的美學意義。

在實際生活中，黃金分割的應用非常廣泛。建筑物中的某些線段比例就采用了黃金分割，舞臺上的報幕員也并非站在舞臺正中央，而是偏在臺上一側(cè)，以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最為美觀，聲音傳播的效果也最好。甚至連植物界也遵循黃金分割的規(guī)律，從一棵嫩枝的頂端向下看，可以看到葉子是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優(yōu)選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數(shù)找到合理的方向和合適的工藝條件。正因為它在建筑、文藝、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學實驗中有著廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。

歷史發(fā)展

公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派對正五邊形和正十邊形的作圖進行了研究，因此現(xiàn)代數(shù)學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割

公元前4世紀，古希臘數(shù)學家歐多克索斯對黃金分割進行了系統(tǒng)的研究，并建立起比例理論。他的工作為后續(xù)關(guān)于黃金分割的理論奠定了基礎(chǔ)。

公元前300年前后，歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著。

在中世紀之后，黃金分割被賦予了神秘的外衣。意大利數(shù)學家帕喬利稱中末比為神圣比例，并為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神圣分割。

到了19世紀，黃金分割這一名稱逐漸通行。

隨著時間的推移，黃金分割數(shù)被發(fā)現(xiàn)了許多有趣的性質(zhì)，并且被廣泛地應用于現(xiàn)實生活中。最著名的例子是在優(yōu)選學中使用的黃金分割法或0.618法，是由美國數(shù)學家基弗于1953年首先提出的，70年代在中國得到了推廣。

總的來說，黃金分割的歷史發(fā)展過程跨越了幾千年的時間，從古希臘畢達哥拉斯學派開始，經(jīng)過多位杰出數(shù)學家的研究和發(fā)展，最終在現(xiàn)實生活中找到了廣泛的應用。