真子集

定義

子集

一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）。記作A?B（或B?A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）。1

即，對(duì)于集合A與B，?x∈A有x∈B，則A?B。1可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。23

真子集定義

如果集合A?B，存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A與集合B有真包含關(guān)系，集合A是集合B的真子集（proper subset）。記作A?B（或B?A），讀作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。

即：對(duì)于集合A與B，?x∈A有x∈B，且?x∈B且x?A，則A?B?？占侨魏畏强占系恼孀蛹?/p>

**非空真子集：**如果集合A?B，且集合A≠?，集合A是集合B的非空真子集（nonvoid proper subset）。2

真子集與子集的區(qū)別：

• 子集就是一個(gè)集合中的全部元素是另一個(gè)集合中的元素，有可能與另一個(gè)集合相等；
• 真子集就是一個(gè)集合中的元素全部是另一個(gè)集合中的元素，但不存在相等。1

舉例

• 所有亞洲國(guó)家組成的集合是地球上所有國(guó)家組成的集合的真子集；所有自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集（即N?Z）；{1, 3} ? {1, 2, 3, 4}，{1, 2, 3} ? {1, 2, 3, 4}； ? ? {?}。但不能說(shuō){1, 2, 3} ? {1, 2, 3}。2
• 設(shè)全集I為{1, 2, 3}，則它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、?；而它的真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、?。它的非空真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。1

有關(guān)命題

命題1：若集合A有n個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，且有2n-1個(gè)真子集，2n-2個(gè)非空真子集。1

**證明：**設(shè)元素編號(hào)為1, 2, ... n，每個(gè)子集對(duì)應(yīng)一個(gè)長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制數(shù)（規(guī)定數(shù)的第 i 位為1表示元素i在集合中，0表示元素i 不在集合中。如全集U={e1, e2, e3, e4, e5}，則{e1,e2,e3,e4,e5} ? 11111，{e2,e3,e4} ? 01110，{e4} ? 00010）。即其子集為00...0（n個(gè)0） ~ 11...1（n個(gè)1）。易知一共有2n個(gè)數(shù)，因此對(duì)應(yīng)2n個(gè)子集。去掉11...1（即表示原來(lái)的集合A）則有2n-1個(gè)真子集，再去掉00...0（表示空集）則有2n-2個(gè)非空真子集。4

命題2：空集是任意集合的子集。

**證明：**給定任意集合A，要證明?是A 的子集。這要求給出所有?的元素是A 的元素；但是，?沒(méi)有元素。

對(duì)有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)家們來(lái)說(shuō)，推論 “?沒(méi)有元素，所以?的所有元素是A 的元素”是顯然的；但對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，有些麻煩。 換一種思維將有所幫助，為了證明?不是A 的子集，必須找到一個(gè)元素，屬于?，但不屬于A。因?yàn)?沒(méi)有元素，所以這是不可能的。因此?一定是A 的子集。

這個(gè)命題說(shuō)明：包含是一種偏序關(guān)系。4

命題3：若 A，B，C是集合，則：

自反性: A?A，反對(duì)稱性: A? B且 B? A，當(dāng)且僅當(dāng)A= B，傳遞性: 若 A? B且 B? C則 A? C。這個(gè)命題說(shuō)明：對(duì)任意集合 S，S的冪集按包含排序是一個(gè)有界格，與上述命題相結(jié)合，則它是一個(gè)布爾代數(shù)。

命題4：若 A，B，C是集合 S的子集，則：4

存在一個(gè)最小元和一個(gè)最大元： ? ? A? S（ ??A由命題2給出）。存在并運(yùn)算: A? A∪B若 A? C且 B? C則 A∪B? C存在交運(yùn)算: A∩B? A若 C? A且 C? B則 C? A∩B。這個(gè)命題說(shuō)明：表述 "A? B" 和其他使用并集，交集和補(bǔ)集的表述是等價(jià)的，即包含關(guān)系在公理體系中是多余的。3

命題5: 對(duì)任意兩個(gè)集合 A和 B，下列表述等價(jià)：A? B A∩ B= A A∪ B= B A? B=? B′ ? A′。2

符號(hào)

集合思想起源很早，但是集合論作為一門學(xué)科是19世紀(jì)末、20世紀(jì)初才開始發(fā)展起來(lái)的，為奠定科學(xué)集合論做出重要貢獻(xiàn)的是著名數(shù)學(xué)家康托爾（G.Cantor，1845-1918）。他的思想曾在數(shù)學(xué)界引起很大的爭(zhēng)議，在集合論的大論戰(zhàn)中，有些數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了集合中使用的有關(guān)符號(hào)。其中“∈”、“?”、“? ”、符號(hào)是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（G.Peano,1858-1932）首先使用的。他用“∈”表示屬于關(guān)系，如a是集合A的元素，他記為a∈A如B?A表示集合B真包含于A或B是A的真子集。至于a不屬于A的元素記號(hào)，a?A則是后來(lái)人延伸創(chuàng)用的。5