全概率公式

定義

定理

若事件A1，A2，…構(gòu)成一個完備事件組且都有正概率，則對任意一個事件B，有如下公式成立：

P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An).

此公式即為全概率公式。

特別地，對于任意兩隨機事件A和B，有如下成立：

其中A和B為對立事件。

應用舉例

我們來看一個簡單的例子：

例：高射炮向敵機發(fā)射三發(fā)炮彈，每彈擊中與否相互獨立且每發(fā)炮彈擊中的概率均為0.3，又知敵機若中一彈，墜毀的概率為0.2，若中兩彈，墜毀的概率為0.6，若中三彈，敵機必墜毀。求敵機墜毀的概率。

解：設事件B=“敵機墜毀”；Ai=“敵機中彈”；i=0,1,2,3

實際上我們從題目知道應該是A0,A1,A2,A3構(gòu)成完備事件組，但是敵機墜毀只和A1,A2,A3有關(guān)，即

，則我們可用如下公式：

全概率公式和Bayes公式

概率論的一個重要內(nèi)容是研究怎樣從一些較簡單事件概率的計算來推算較復雜事件的概率，全概率公式和Bayes公式正好起到了這樣的作用。對一個較復雜的事件A，如果能找到一伴隨A發(fā)生的完備事件組B1、B2```，而計算各個B的概率與條件概率P(A/Bi)相對又要容易些，這是為了計算與事件A有關(guān)的概率，可能需要使用全概率公式和Bayes公式。