雙曲正弦函數(shù)

簡介

應用上常遇到以e為底的指數(shù)函數(shù)和所產(chǎn)生的雙曲函數(shù)以及它們的反函數(shù)——反雙曲函數(shù)，而雙曲正弦函數(shù)是雙曲函數(shù)的一種，它的定義式1為。

當x的絕對值很大時，雙曲正弦函數(shù)的圖形在第一象限內(nèi)接近于曲線，在第三象限內(nèi)接近于曲線。當x=0時，sinhx=sinh0=0。

定義域和值域

雙曲正弦函數(shù)的定義域為，值域也為。

奇偶性

雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖形通過原點且關于原點對稱2。

證明如下：

而

根據(jù)奇函數(shù)的定義，可得出上述結論。

單調(diào)性

雙曲正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)它是單調(diào)增加的。證明如下：

查雙曲函數(shù)的導數(shù)公式，得到：

而雙曲余弦函數(shù)的值域是。無論取何值，的值永遠大于0?？梢?，雙曲正弦函數(shù)在內(nèi)永遠是單調(diào)遞增的。

周期性

無論是雙曲正弦函數(shù)y=sinhx，還是雙曲正切函數(shù)y=tanhx、雙曲余弦函數(shù)y=coshx，它們都不是周期函數(shù)。

凹凸性

雙曲正弦函數(shù)在是凸函數(shù)，在是凹函數(shù)

證明：根據(jù)函數(shù)凹凸性的判定定理：設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么：

（1）若在（a,b）內(nèi)，，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的

（2）若在（a,b）內(nèi)，，則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的

根據(jù)雙曲函數(shù)的導數(shù)公式，求得雙曲正弦函數(shù)的二階導數(shù)3為：

可見，雙曲正弦函數(shù)的二階導數(shù)仍然是雙曲正弦函數(shù)（它本身），而根據(jù)雙曲正弦函數(shù)的單調(diào)性，且sinh0=0。可知當x>0時，sinhx的二階導數(shù)大于0。x<0時，sinhx的二階導數(shù)小于0，則可得出上述結論。

導數(shù)

雙曲正弦函數(shù)的導數(shù)是雙曲余弦函數(shù)，即。3

不定積分

雙曲正弦函數(shù)的積分3是這樣的：

其中，大寫的C為任意常數(shù)。不難發(fā)現(xiàn)，除去任意常數(shù)C,雙曲正弦函數(shù)的積分也是雙曲余弦函數(shù)。

其中，大寫的C為任意常數(shù)。

泰勒展開式

雙曲正弦函數(shù)的泰勒展開式3為：

即：

反函數(shù)

雙曲正弦函數(shù)的反函數(shù)是反雙曲正弦函數(shù)，數(shù)學表示上記作arsinh。它的定義式為：

函數(shù)y=arsinhx的定義域為，它是奇函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加。

其他雙曲函數(shù)

雙曲正弦函數(shù)：shx=[e^x-e^(-x)]/24

雙曲余弦函數(shù)：chx=[e^x+e^(-x)]/24

雙曲正切函數(shù)：thx=[e^x-e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]4

雙曲余切函數(shù)：chx=[e^x+e^(-x)]/[e^x-e^(-x)]4