共線向量基本定理

定義與證明

如果a≠0，那么向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得b=λa。

證明：

（1）充分性：對于向量 a(a≠0)、b，如果有一個實(shí)數(shù)λ，使 b=λa，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知，向量a與b共線。

定理中的向量a是非零向量，若 a=0，當(dāng)定理從前往后推出時 ，向量b必為零向量，0與0共線失去討論意義；當(dāng)定理從后往前推出時，則向量b為任意向量都可以，同時λ的值不確定，可取任意實(shí)數(shù)， 即零向量與任意向量共線 ，向量共線的概念已做明確規(guī)定 ，故定理中限制向量 a非零。3

（2）必要性***：已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么當(dāng)向量a與b同方向時，令 λ=m，有 b=λa*，當(dāng)向量a與b反方向時，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。

（3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。

證畢。1

推論

推論1

兩個向量a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實(shí)數(shù)λ、μ，使得 λa+μb=0。

證明：

（1）充分性，不妨設(shè)μ≠0，則由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。

（2）必要性，已知向量a與b共線，若a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，實(shí)數(shù)λ、μ不全為零。若a=0，則取μ=0，取λ為任意一個不為零的實(shí)數(shù)，即有 λa+μb=0。

證畢。

推論2

兩個非零向量a、b共線的充要條件是：存在全不為零的實(shí)數(shù)λ、μ，使得 λa+μb=0。

證明：

（1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。

（2）必要性，∵向量a與b共線，且a≠0，則由 共線向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，實(shí)數(shù)λ、μ全不為零。

證畢。

推論3

如果a、b是兩個不共線的向量，且存在一對實(shí)數(shù)λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。

證明：（反證法）

不妨假設(shè)μ≠0，則由 推論1 知，向量a、b共線；這與已知向量a、b不共線矛盾，故假設(shè)是錯的，所以λ=μ=0。

證畢。

推論4

如果三點(diǎn)P、A、B不共線，那么點(diǎn)C在直線AB上的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得

向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。

證明：

∵三點(diǎn)P、A、B不共線，∴向量AB≠0，

由 共線向量基本定理 得，

點(diǎn)C在直線AB上 <=> 向量AC 與 向量AB 共線 <=> 存在唯一實(shí)數(shù)λ，使 向量AC=λ·向量AB

∵三點(diǎn)P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，

∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。

證畢。

推論5

如果三點(diǎn)P、A、B不共線，那么點(diǎn)C在直線AB上的充要條件是：存在唯一一對實(shí)數(shù)λ、μ，使得

向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）

證明：

在推論4 中，令 1-λ=μ ，則λ+μ=1，知：

三點(diǎn)P、A、B不共線 <=> 點(diǎn)C在直線AB上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）

下面證唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，則 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，

即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，

∵三點(diǎn)P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，

由 推論3 知，m=λ，n=μ。

證畢。

推論6

如果三點(diǎn)P、A、B不共線，那么點(diǎn)C在直線AB上的充要條件是：存在不全為零的實(shí)數(shù)λ、μ、ν，使得

λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

證明：

（1）充分性，由推論5 知，若三點(diǎn)P、A、B不共線，則 點(diǎn)C在直線AB上 <=> 存在實(shí)數(shù)λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。

取ν=-1，則有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且實(shí)數(shù)λ、μ、ν不全為零。

（2）必要性，不妨設(shè)ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，則 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推論5 即知，點(diǎn)C在直線AB上。

證畢。

推論7

點(diǎn)P是直線AB外任意一點(diǎn)，那么三不同點(diǎn)A、B、C共線的充要條件是：存在全不為零的實(shí)數(shù)λ、μ、ν，使得

λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

證明：（反證法）

∵點(diǎn)P是直線AB外任意一點(diǎn)，∴向量PA≠**0，向量PB≠0，**向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC兩兩不共線。

由推論6 知，實(shí)數(shù)λ、μ、ν不全為零，

（1）假設(shè)實(shí)數(shù)λ、μ、ν中有兩個為零，不妨設(shè)λ≠0，μ=0，ν=0。則 λ向量PA=0，∴向量PA=0。這與向量PA≠0。

（2）假設(shè)實(shí)數(shù)λ、μ、ν中有一個為零，不妨設(shè)λ≠0，μ≠0，ν=0。則 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 與 向量PB共線，這與向量PA 與 向量PB不共線矛盾。

證畢。

共線向量定理

定理1

⊿ABC中，點(diǎn)D在直線BC上的充要條件是

其中

都是其對應(yīng)向量的數(shù)量。

證明：有推論5 即可證得。2

定理2

⊿ABC中，點(diǎn)D在直線BC上的充要條件是

其中都是有向面積。通常約定，頂點(diǎn)按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點(diǎn)按順時針方向排列的三角形面積為負(fù)。

證明：由定理1 即可得證。