并集

定義

若A和B是集合，則A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素，而沒有其他元素的集合。A和B的并集通常寫作 "A∪B"，讀作“A并B”，用符號語言表示，即：A∪B={x|x∈A,或x∈B}。符號“U”既具有操作意義又具有結(jié)構(gòu)意義。4

形式上，x是A∪B的元素，當(dāng)且僅當(dāng)x是A的元素，或x是B的元素。

代數(shù)性質(zhì)

二元并集（兩個集合的并集）是一種結(jié)合運算，即A∪(B∪C) = (A∪B) ∪C。事實上，A∪B∪C也等于這兩個集合，因此圓括號在僅進(jìn)行并集運算的時候可以省略。相似的，并集運算滿足交換律，即集合的順序任意。

空集是并集運算的單位元。 即 ? ∪A=*A。對任意集合A，*可將空集當(dāng)作零個集合的并集。

結(jié)合交集和補集運算，并集運算使任意冪集成為布爾代數(shù)。 例如，并集和交集相互滿足分配律，而且這三種運算滿足德·摩根律。 若將并集運算換成對稱差運算，可以獲得相應(yīng)的布爾環(huán)。

無限并集

最普遍的概念是：任意集合的并集。若 M 是一個集合的集合，則 x 是 M 的并集的元素，當(dāng)且僅當(dāng)存在 M 的元素 A，x 是 A 的元素。即：

無論集合 M 本身為何，M 的并集是一個集合，這就是公理集合論中的并集公理。

例如：A ∪ B ∪ C 是集合 {A,B,C} 的并集。同時，若 M 是空集， M 的并集也是空集。有限并集的概念可以推廣到無限并集。

上述概念有多種表示方法：集合論科學(xué)家簡單地寫， 而大多數(shù)人會寫為。 后者可推廣為 ， 表示集合 {Ai : i is in I} 的并集。這里是一個集合，是一個的集合。在索引集合是自然數(shù)集合的情況下，上述表示和求和相類似：

同樣，也可以寫作 "A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···". （這是一個可數(shù)的集合的并集的例子，在數(shù)學(xué)分析中非常普遍；參見σ-代數(shù)）。最后，要注意的是，當(dāng)符號"∪" 放在其他符號之前，而不是之間的時候，要寫的大一些。 交集在無限并集中滿足分配律，即 ，。 結(jié)合無限并集和無限交集的概念，可得。

性質(zhì)

韋恩圖表示

可用韋恩圖表示（分為五種情況顯示）

【說明】并集的意義：A∪B，即A∪B是所有A、B中的元素組成的集合，因此，A∪B中的元素至少具有集合A或集合B的屬性之一。

交集的性質(zhì)

關(guān)于交集有如下性質(zhì)：

A∩B?A

A∩B?B

A∩A=A

A∩?=?

A∩B=B∩A；

并集的性質(zhì)

關(guān)于并集有如下性質(zhì)：

A∪B?A

A∪B?B

A∪A=A

A∪?=A

A∪B=B∪A

若A∩B=A，則A∈B，反之也成立；

若A∪B=B，則A∈B，反之也成立。

若x∈（A∩B），則x∈A且x∈B；

若x∈（A∪B），則x∈A，或x∈B。

舉例

集合{1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。數(shù)字 9 不屬于質(zhì)數(shù)集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶數(shù)集合{2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集，因為 9 既不是素數(shù)，也不是偶數(shù)。

更通常的，多個集合的并集可以這樣定義：例如，A, B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而沒有其他元素。

形式上，x是 A∪B ∪C 的元素，當(dāng)且僅當(dāng)x ∈A 或 x ∈B 或 x ∈C。