三垂線定理

簡介

三垂線定理是立體幾何的重要定理之一，平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也就和這條斜線垂直，三垂線定理通過平面斜線的射影與平面內(nèi)一直線的垂直關(guān)系來判定斜線與平面內(nèi)一條直線垂直，由于定理中涉及三條與平面內(nèi)已知直線有垂直關(guān)系的直線（如圖1，PA⊥平面α，PB⊥a，AB⊥a），故稱為三垂線定理。1

定理證明

線面垂直證明

已知：如圖2，PO在α上的射影OA垂直于a。求證：OP⊥a。

證明：過P做PA垂直于α

∵PA⊥α且a?α

∴a⊥PA

又a⊥OA

OA∩PA=A

∴a⊥平面POA

∴a⊥OP

用向量證明

1、已知：PO，PA分別是平面α的垂線，斜線，OA是PO在α內(nèi)的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求證：向量b垂直于PA

證明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）

∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b）=0，

∴PA⊥向量b。

2、已知三個平面OAB，OBC，OAC相交于一點O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交線OA與平面OBC所成的角。

解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是內(nèi)心，

又∵AB=BC=CA，

∴OA與平面OBC所成的角是30°。

三余弦定理

三余弦定理：平面內(nèi)的一條直線與該平面的一條斜線所成角的余弦值，等于斜線與平面所成角的余弦值乘以斜線在平面上的射影與該直線所成角的余弦值。

例如：OP是平面OAB的一條斜線，且OP在面上的射影是OC。若∠POC=α（斜線與平面所成角），AB與OC所成角為β（射影與直線所成角），OP與AB所成角為γ（直線與斜線所成角），則cosγ=cosαcosβ

顯然，三垂線定理就是當(dāng)β=90°的情況。直線垂直射影有cosβ=0，因此cosγ=0，即直線與斜線也垂直。

使用

1、三垂線定理描述的是PO（斜線）、AO（射影）、a（直線）之間的垂直關(guān)系。

2、a與PO可以相交，也可以異面。

3、三垂線定理的實質(zhì)是空間內(nèi)的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面（基準面）的垂線。至于射影則是由垂足，斜足來確定的，因而是第二位的。從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程序：一垂、二射、三證。即第一找平面（基準面）及平面垂線第二找射影線，這時a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。第三證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。

注：

1°定理中四條線均針對同一平面而言

2°應(yīng)用定理關(guān)鍵是找"基準面"這個參照系

附：江蘇省《教學(xué)要求》中規(guī)定自2011年高考起“三垂線定理”不能作為推理論證的依據(jù)，要證明。

黑龍江省《教學(xué)要求》中規(guī)定自2012年高考起“三垂線定理”不能作為推理論證的依據(jù)，要證明。

用途

1.在做圖中，做二面角的平面角。

2.在證明中，證明線線垂直。

3.在計算中，用歸納法歸攏已知條件，便于計算。

口訣

線射垂。

逆定理

三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

應(yīng)用

作為一種較為典型的證題方法，三垂線定理及其逆定理在解題中有著廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用三垂線定理時，既要注意三垂線定理圖形的多樣性，又要注意豎直或傾斜平面上三垂線定理的應(yīng)用。按 照“一定平面 ，二定垂線 ，三找斜線 ，射影就出現(xiàn)”的原則去確認圖形，得出所證的垂直關(guān)系，其關(guān)鍵是找平面的垂線和斜線在平面內(nèi)的射影。2

說明

（1）線射垂直（平面問題）?線斜垂直（空間問題）；

（2）證明線線垂直的方法：定義法；線線垂直判定定理；三垂線定理；

（3）三垂線定理描述的是PO（斜線）、AO（射影）、a（直線）之間的垂直關(guān)系。

（4）直線a與PO可以相交，也可以異面。

（5）三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。

（6）可用來解決異面直線所成的角和二面角的平面角等問題。