三角形中位線定理

定理

三角形的中位線平行于第三邊（不與中位線接觸），并且等于第三邊的一半。

如圖1所示，在三角形ABC中，DE是以BC為底的三角形中位線，則可得DE//BC，且DE=BC/2。具體證明過程如下。

證明

如圖1，已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點。

求證DE平行于BC且等于BC/2

方法一：過C作AB的平行線交DE的延長線于G點。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括號）

∴△ADE≌△CGE （A.S.A)

∴AD=CG(全等三角形對應邊相等)

∵D為AB中點

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

∴DG∥BC且DG=BC

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位線定理成立.

方法二：相似法：

∵D是AB中點

∴AD：AB=1：2

∵E是AC中點

∴AE：AC=1:2

又∵∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC

∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2

∠ADE=∠B，∠AED=∠C

∴BC=2DE,BC∥DE

方法三：坐標法：

設三角形三點分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）

則一條邊長為 ：根號（x2-x1）^2+(y2-y1）^2

另兩邊中點為（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）

這兩中點距離為：根號（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2

最后化簡時將x3，y3消掉正好中位線長為其對應邊長的一半

方法4：

延長DE到點G，使EG=DE，連接CG

∵點E是AC中點

∴AE=CE

∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE

∴△ADE≌△CGE (S.A.S)

∴AD=CG、∠G=∠ADE

∵D為AB中點

∴AD=BD

∴BD=CG

∵點D在邊AB上

∴DB∥CG

∴BCGD是平行四邊形

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位線定理成立

方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2

∴DE//BC且DE=BC/2

逆定理

逆定理一：

在三角形內(nèi)，與三角形的兩邊相交，平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線2。

如圖2DE//BC，DE=BC/2，則D是AB的中點，E是AC的中點。

證明：∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中點，E是AC中點。

逆定理二：

在三角形內(nèi)，經(jīng)過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線2。

如圖2D是AB的中點，DE//BC，則E是AC的中點，DE=BC/2

證明：取AC中點E'，連接DE'，則有

AD=BD，AE'=CE'

∴DE'是三角形ABC的中位線

∴DE'∥BC

又∵DE∥BC

∴DE和DE'重合（過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行）

∴E是中點，DE=BC/2

**注意：在三角形內(nèi)部，經(jīng)過一邊中點，且等于第三邊一半的線段不一定是三角形的中位線。**3

如圖2，在△ABC中，D是AB中點，E在AC上，DE=BC/2，那么DE不一定是△ABC的中位線。理由如下：

以D為圓心，DE為半徑作圓，設⊙D與AC交于另一點E'，則有DE'=DE=BC/2，但DE'不是三角形的中位線。

但在一定條件下該命題是真命題。根據(jù)正弦定理解三角形可知，若∠A是銳角，當DE≥AD（即當BC≥AB），或DE=ADsinA（即BC=ABsinA，此時∠C=90°）時，命題成立。若∠A是鈍角或直角，則當DE>AD（即BC>AB）時，命題成立。

歷史

古巴比倫人（BC1800一 BC1600)在三角形土地的分割實踐中，已經(jīng)知道三角形中位線定理。古希臘數(shù)學家歐幾里得（公元前3世紀，《幾何原本》）則證明了更一般的定理。中國數(shù) 、學家劉徽在推導三角形面積公式時（3世紀，《九章算術》注釋），實際上也得 出了這個定理，盡管他并未明確提出來。19-20世紀的西方幾何教科書中，該定理主要是以更一 般的“平行線分線段成比例”定理或“平行線等分 線段”定理的推論呈現(xiàn)的，是一個并不受特別關 注的“配角”。4