調(diào)和分析

簡述

調(diào)和分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域之一，其輝煌的成就讓一代代分析學(xué)家為之傾倒與奮斗。按照華羅庚先生的說法，把已知函數(shù)展開成Fourier級數(shù)的運算就叫做調(diào)和分析。事實上，調(diào)和分析也正是從Fourier級數(shù)和Fourier變換理論的研究開始發(fā)展壯大的。從物理的觀點，調(diào)和分析就是要把信號表示為基本波“諷和子”的超位置疊加。2幾個世紀(jì)以來，調(diào)和分析已經(jīng)形成了龐大的學(xué)科體系，并在數(shù)學(xué)、信息處理和量子力學(xué)等領(lǐng)域有著重要和深刻的應(yīng)用。

調(diào)和分析的發(fā)展可以追溯到Fourier分析。近來調(diào)和分析發(fā)展的數(shù)學(xué)工具，例如小波變換和Gabor變換，都是某些場合(具有某種性質(zhì)的空間，例如Bosov空間)中本質(zhì)上最優(yōu)的變換。調(diào)和分析已經(jīng)成功地應(yīng)用在發(fā)展泛函表示的新形式中，這些已經(jīng)證明了調(diào)和分析具有重要的意義。Fourier變換和小波變換是應(yīng)用于函數(shù)逼近的兩種典型工具。3

相關(guān)概念

**傅里葉級數(shù)：**任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的），后世稱傅里葉級數(shù)為一種特殊的三角級數(shù)，根據(jù)歐拉公式，三角函數(shù)又能化成指數(shù)形式，也稱傅立葉級數(shù)為一種指數(shù)級數(shù)。

傅里葉變換：Fourier變換是用無窮區(qū)間上的復(fù)正弦基函數(shù)和信號的內(nèi)積描述了信號中總的頻率分布，它將原時域信號的研究轉(zhuǎn)換為在頻域上的Fourier系數(shù)的研究，F(xiàn)ourier分析是純頻域分析。只適用于確定性的平穩(wěn)信號3

分類

從應(yīng)用角度來說，有效確定Fourier級數(shù)問題的運算稱為實用調(diào)和分析。有限調(diào)和分析是實用調(diào)和分析的主體框架，即從有限個數(shù)據(jù)所應(yīng)計算的最恰當(dāng)?shù)捻棓?shù)的角度，從有限到有限的思想方法來解決實際問題的Fourier方法是有限調(diào)和分析的應(yīng)用價值所在。再從物理的角度，人們可以發(fā)現(xiàn)量子力學(xué)中的測不準(zhǔn)關(guān)系有著調(diào)和分析版的解釋，即Paley-Wiener定理所描述的非零緊支集廣義函數(shù)的Fourier變換沒有緊支集。

抽象調(diào)和分析是調(diào)和分析更深入的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，即研究拓?fù)淙荷系恼{(diào)和分析理論，特別是Fourier變換理論。Abel緊群的Ponteyagin對偶理論是調(diào)和分析特征在現(xiàn)代數(shù)學(xué)處理中的合適寫照。對一般的非Abel局部緊群來說，調(diào)和分析是與酉群的表示論密切相關(guān)的。經(jīng)典卷積的Fourier變換是Fourier變換的乘積的性質(zhì)可以通過對緊群的Peter-Weyl定理有所升華體現(xiàn)。當(dāng)群既非Abel又非緊群時，一般的抽象調(diào)和分析理論還不是很完善。例如，是否此時存在Ptancherel定理的類似物還不知道．但是在許多特殊情況下，通過無窮維表示技術(shù)是可以分析一定的相關(guān)問題的。2