偏回歸系數(shù)

概念解釋

多元線性回歸方程Y=a+b1X+b2X+…+bmXm中，各個自變量Xi的系數(shù)bi(i=1，2，…，m)，稱為因變量Y對自變量Xi的偏回歸系數(shù)，相應的總體偏回歸系數(shù)用βi表示。bi表示當其他自變量取值固定時，Xi變化(增加或減少)1個單位，則Y平均變化bi個單位，是反映Y隨Xi數(shù)量變化的方向和大小(或快慢)的指標。bi>0，Y隨Xi增加而增加；bi<0，Y隨Xi增加而減少。|bi|值越大，Y隨Xi變化越大(或越快)。bi的標準誤為：

MS剩即多元線性回歸方程的方差分析表中的剩余均方，Cii為自變量離差矩陣[lij]m×m的逆矩陣[Cii]m×m的對角線上的元素。bi的顯著性檢驗用t檢驗：

ν=n-m-1。零假設(H0)是βi=0。2

介紹

在多元回歸分析中，隨機因變量對各個自變量的回歸系數(shù)，表示各自變量對隨機變量的影響程度。

偏回歸系數(shù)（partial regression coefficient）是多元回歸問題出現(xiàn)的一個特殊性質，如何理解、辨認和求取偏回歸系數(shù)正是本文要討論的。為了簡化問題，我們把對偏回歸系數(shù)的討論，限定為只有2個解釋變量的系統(tǒng),即建立的經濟計量模型為Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ui(1) ，回歸方程為^Yi=^β0+^β1X1i+^β2X2i(2)，式中^βi(i=0,1,2)為偏回歸系數(shù)。

問答

一、X1增加一個單位引起Y的增加量肯定是偏回歸系數(shù)^β1嗎?

為了回答這個命題,首先,必須進行因素影響分析,即X1,X2對Y的作用關系分析。具體講,這種作用關系有四種：其一是X1本身變化對Y的凈作用；其二是X2的變化引起X1的相應變化。

二、X1變化對Yi的影響程度到底有多大呢？

首先，在考慮偏導數(shù)的時候，我們認為其他解釋變量保持不變，即當做常數(shù)來處理（類似于微積分中的偏導數(shù)），本例中把X2看做常數(shù)，則X1變化一個單位，會引起Yi變化β1個單位，β1就為偏回歸系數(shù)

偏回歸系數(shù)的本質：就是自變量對因變量影響程度。但是，這種沒有經過任何處理的回歸系數(shù)因為有時自變量的變異程度和均數(shù)有時差別很大，直接用偏回歸系數(shù)無法比較各個自變量影響程度。 所以，必須進行處理，即進行標準化，標準化后即可以直接比較。其實，還有許多系數(shù)，都是因為自變量量綱不同，需要進行標準化，例如偏相關系數(shù)等。

偏心的回歸方程。

標準化偏回歸系數(shù)

標準化變量的多元線性回歸方程=b1′X1′+b2′X2′+…+bm′Xm′中，各個標準化自變量Xi′的系數(shù)bi′(i=1，2，…，m)。相應的總體標準化偏回歸系數(shù)用βi′表示。標準化偏回歸系數(shù)bi′消除了原偏回歸系數(shù)bi的單位，表示當其他標準化自變量取值固定時，Xi′變化1個單位(即Xi變化1個標準差)，則Y′平均變化bi′個單位(即Y平均變化bi′個標準差)，是反映′隨Xi′數(shù)量變化的方向和大小(或快慢)的指標。標準化偏回歸系數(shù)的絕對值一般小于1。bi′和bi的關系為：

lii為Xi的離均差平方和，lyy為Y的離均差平方和。bi′的標準誤和bi的標準誤的關系為：

標準化偏回歸系數(shù)bi′用以比較各自變量Xi對應變量Y的作用大小，|bi′|值越大，Xi對Y的作用越大。但嚴格比較，要作兩個標準化偏回歸系數(shù)bi′和bj′的差別的顯著性檢驗，在差別有顯著性的前提下才能比較。3