線性化

微分方程的線性化

嚴(yán)格的講，實(shí)際物理原件和系統(tǒng)都是非線性的。

疊加原理不適應(yīng)于非線性系統(tǒng)，這給求解非線性系統(tǒng)帶來了不便，因此需要對(duì)所研究的系統(tǒng)做線性化處理。

非線性系統(tǒng)的線性化

非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化的條件：

非線性函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；系統(tǒng)在預(yù)定工作點(diǎn)附近小偏差運(yùn)行，即變量的變化范圍很小。

單變量系統(tǒng)的線性化

如圖1所示為連續(xù)變化的非線性函數(shù)為：

線性化方法：

把非線性函數(shù)在工作點(diǎn) 附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，略去高次項(xiàng)，使得一個(gè)以增量為變量的線性函數(shù)：

當(dāng)增量 很小時(shí)，略去其高次冪項(xiàng)，則

k是比例系數(shù)，它是函數(shù) 在工作點(diǎn)A點(diǎn)的切線斜率。

將線性增量方程代入系統(tǒng)微分方程，便可得系統(tǒng)線性化方程。

多變量函數(shù)的線性化

在函數(shù) 的一個(gè)點(diǎn) 處的線性化函數(shù)是：

多變量函數(shù)的一般方程 在一個(gè)點(diǎn) 處的線性化方程是：

其中 是變量的向量， 是線性化的工作點(diǎn)1。

線性化總結(jié)

1）線性化是相隨某已工作點(diǎn)，工作點(diǎn)不同，線性化方程的系數(shù)也不同；

2）偏差越小，線性化精度越高；

3）線性化適用于連續(xù)變化的單值函數(shù)；

4）式中變量是增量，不是絕對(duì)值，公式稱為增量方程式；

5）額定工作點(diǎn)若是坐標(biāo)原點(diǎn)，增量可以寫成絕對(duì)量；

6）當(dāng)增量并不是很小時(shí)，在進(jìn)行線性化時(shí)，為了驗(yàn)證容許的誤差值，需要分析泰勒式中的余項(xiàng)。

線性化的使用

穩(wěn)定性分析

在自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，可以使用在雙曲平衡點(diǎn)評(píng)估的雅可比矩陣的特征值來確定該平衡的性質(zhì)。這是線性化定理的內(nèi)容。

微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)

在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，決策規(guī)則可以在線性化的狀態(tài)空間方法下近似。

優(yōu)化

在數(shù)學(xué)優(yōu)化中，成本函數(shù)和內(nèi)部的非線性分量可以線性化，以便應(yīng)用諸如Simplex算法的線性求解方法。優(yōu)化的結(jié)果可以更有效地得到全局最優(yōu)的解2。

多物理學(xué)

在多物理場(chǎng)系統(tǒng)中，涉及多個(gè)彼此相互作用的物理場(chǎng)的系統(tǒng)，可以執(zhí)行關(guān)于每個(gè)物理場(chǎng)的線性化。該系統(tǒng)關(guān)于每個(gè)場(chǎng)的線性化會(huì)形成線性化的單片方程系統(tǒng)，其可以使用單片迭代解決方案如牛頓 - 拉夫遜（Newton-Raphson）方法來求解。這樣的例子包括機(jī)械和聲場(chǎng)系統(tǒng)的MRI掃描儀系統(tǒng)等3。