古人如何知道冬至是哪一天？其實，是用影子算出來的

出品：科普中國

作者：柯棋瀚（中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所）

監(jiān)制：中國科普博覽

今天是冬至，北半球一年中白晝最短的日子。大早醒來看到這篇文章的你，也許還沒能看到太陽從窗外升起。

熟悉天文學(xué)的讀者可能知道，現(xiàn)代天文學(xué)是以春分作為一年的開始，兩次春分之間的間隔就是一個回歸年。

但在中國歷法中，卻將冬至作為一歲之始，一歲的長度（歲實）是兩次冬至之間的間隔。在中國人的觀念中，冬至的時候寒冷到達(dá)了極點，陰氣盛極而衰，陽氣開始生發(fā)，因此是生命的起點，于是把冬至作為一個太陽年的起始，這是中國天文學(xué)的獨特之處。

今天，我們有各種各樣的電子日歷提醒我們各種節(jié)氣的到來，但在古代，人們是怎么判定冬至的到來呢？

立桿為影

在冬至附近的一段時間，歷家（即研究、制定歷法的人）會用“圭（guī）表”測量正午影子的長度，以此確定冬至的確切時刻。立起來的桿稱作“表”，表高為八尺（約1.8米），地面上測量影子長度的大尺子叫做“圭”（又叫量天尺），圭表朝向正北，每日正午的時候，太陽在正南，就可以測得一天中最短的影子。有了冬至附近數(shù)日的正午影長數(shù)據(jù)，便能算出冬至的確切時刻了。

圭表測量示意圖

（圖片來源：《中國古代天體測量學(xué)及天文儀器》圖11-3）

冬至測影在中國有著非常悠久的歷史。在中國古代天文學(xué)中，圭表測影最主要的作用是推定冬至?xí)r刻，因此觀測精度就非常重要。

位于北京古觀象臺后院的圭表模型

（圖片來源：北京古觀象臺官網(wǎng)）

而在古希臘天文學(xué)中，測影則主要是為了論證宇宙模型，因此古希臘人并不需要過分追求精度。這樣的思路也影響到中世紀(jì)，圭表測影技術(shù)在歐洲一直沒有得到很好的發(fā)展，這也使得歐洲在很長一段時間里都將一年的長度定為365.25天。

在阿拉伯世界，對太陽的觀測主要靠日晷而非圭表，原因在于穆斯林每天需要做五次禱告，這就要求要有準(zhǔn)確的時間。

實際上，如果從天文觀測的角度來說，太陽直射點在冬至附近移動緩慢，好幾天內(nèi)可能都難以觀察到日影長度的變化，而在春分秋分點附近移動最快，很容易就能觀察到日影變化，選用春分來測量晷影、考算歲實是更好的選擇。但很多事情并不是單一因素可以決定的，中國人對天道的認(rèn)知在此時勝過了出于天文觀測的考量。

冬至的具體時刻如何計算？

在測得冬至附近幾個正午影長的數(shù)據(jù)之后，應(yīng)該怎樣計算冬至的具體時間呢？換句話說，怎樣通過計算得知一年中影長最長的時刻呢？

《宋書·律歷志》留下了一段祖沖之計算冬至?xí)r刻的方法，翻譯成現(xiàn)代語言，參照示意圖，就是：

大明五年十月十日（公元461年11月27日）（A），測量得到影長a=10.7750尺（約2.5米）；

十一月二十五日（公元462年1月11日）（B），影長b=10.8175尺；

十一月二十六日（C），影長c=10.7508尺。

祖沖之假設(shè)影長以冬至為中心對稱，影長的變化是一條直線（當(dāng)然，實際情況是類似拋物線的曲線，且并不以冬至為中心對稱）。

a和b、c很接近，所以冬至日期在十月十日和十一月二十五、二十六日的中點，該年十月有30天，所以十月十日到十一月二十五日有45日，所以冬至在十一月三日。那么具體時刻是什么呢？

祖沖之這樣算：“令后二日影相減,則一日差率也。倍之為法，前二日減，以百刻乘之為實，以法除實，得冬至加時在夜半后三十一刻?！奔?b-a)/[(b-c)*2]=(10.8175-10.7750)/[(10.8175-10.7508)*2]≈0.3186，也就是三日零點加上0.3186日，1日=100刻，得到冬至在十一月三日31刻。

祖沖之測算冬至?xí)r刻法示意圖

（圖片來源：作者據(jù)《中國科學(xué)技術(shù)史（天文學(xué)卷）》圖4-13重制）

祖沖之并沒有解釋為什么要這樣算，我們可以按下面這樣理解。設(shè)A為十月十日正午，B為十一月二十五日正午，C為十一月二十六日正午，a、b、c分別為這三日的正午影長。則必可在B、C之間找到影長也等于a的F點。祖沖之假設(shè)影長以冬至點為中心對稱，作均勻線性變化。則BC之間影長每日變化b-c尺，每刻變化(b-c)/100尺。所以BF=(b-a)/(b-c)日=(b-a)/(b-c)×100刻。

又設(shè)D為AB的中點（即AD=DB），則D為十一月三日夜半。設(shè)E為AF中點，即E為冬至?xí)r刻，在十一月三日的某一刻。

由圖可見，DE+EF=DB+BF，已知AD=DB，AE=EF，則DE+AE=AD+BF，因此BF=DE+(AE-AD)=2DE，所以DE=1/2BF=(b-a)/[(b-c)×2]。

**這就是中國古代推算冬至?xí)r刻的算法。**我們只要找出三個點A、B、C，其中A在冬至前，B、C是冬至后相鄰的兩天，且A的數(shù)值在B、C之間，那么冬至的日期就在AB中點的那天，具體時刻就是(B-A)/(B-C)/2。如果連續(xù)測量幾年的冬至?xí)r刻，取平均值，就能算出一個回歸年的長度。

分毫畢現(xiàn)

從祖沖之以來，冬至測影的算法至少就一直沒變過，那么冬至?xí)r刻觀測精度的提高是怎么實現(xiàn)的呢？

靠的是觀測儀器的改進。

測影的表自古以來都是八尺高，到了元代，郭守敬將表加高到四丈（1丈=10尺，合9.81米），在大都、上都、陽城等全國五處地方都設(shè)立了高表，可惜留存至今的僅有位于陽城（今登封告成鎮(zhèn)）的一處。陽城高表直接用磚石修造的觀星臺來代替銅表，這樣做的好處是節(jié)省費用，省時省工。

臺頂架了一條橫梁，橫梁和下方的直壁留有一些空隙。圭則直接躺在地上，由水槽來保證水平。正午陽光穿過橫梁，在圭上投下一道陰影，這就是影子的長度。影子相較以前的測量方法更長，因此測量就會更加精確。

位于登封告成鎮(zhèn)的郭守敬觀星臺

（圖片來源：大河網(wǎng)）

有一個小細(xì)節(jié)值得注意。新表的長度（四丈）是舊表的五倍（八尺）。為什么設(shè)計成五倍，而不是四倍或者六倍呢？

在中國古代，最小長度單位是毫，約等于現(xiàn)在的0.024毫米；那么五毫就相當(dāng)于0.12毫米（0.024*5=0.12mm）。

郭守敬希望“毫厘差異分別”，也就是影長要能夠精確到一毫（0.024毫米），但是肉眼能夠識別的最小長度大約是0.1毫米，在傳統(tǒng)的八尺表下無法實現(xiàn)這樣的讀數(shù)。若將圭表放大五倍，就能讀取最小五毫（1.2毫米）的數(shù)據(jù)，折算成八尺表，就是一毫。這是郭守敬選擇四丈高表的原因。

但是還有一個問題是，當(dāng)表的長度增加之后，影子就會變得模糊。我們在生活中也能感受得到，太陽底下，自己的影子邊緣似乎很柔和，一點也不分明。

為解決這個問題，郭守敬發(fā)明了“影符”，實際上就是一個傾斜著的有一個小孔的銅板。

將影符放在量天尺上影端虛影處,使得太陽、橫梁、小孔呈一條直線，光線透過小孔，在量天尺上投一下個小光斑，橫梁的陰影在光斑上顯現(xiàn)出一道米粒大小的陰影，邊角分明，微調(diào)影符位置，使得陰影正好處在光斑的中間，這樣就可以讀到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。這正是利用的小孔成像原理。

復(fù)原銅制影符

（圖片來源：肖堯《登封四丈高表與圭表測影》）

通過這兩項改進，再加上連續(xù)數(shù)年的不懈觀測，以及古代的觀測記錄，郭守敬測量出了自古以來最準(zhǔn)確的回歸年數(shù)值：365.2425日，與當(dāng)時的精確數(shù)值365.2422日相比，誤差只有26s。巧合的是，我們現(xiàn)在使用的格里高利歷一年的長度也是365.2425日。

貫通古今的理想

冬至測影在中國有著非常悠久的歷史。傳說冬至測影從三千年前的周公就開始了，但真正的起點應(yīng)該更早，部落時代的人們可能就已經(jīng)會測量日影了。而留存至今最早的有明確數(shù)據(jù)的記載，是上文祖沖之的觀測結(jié)果。

此后，歷代歷家測量了六組數(shù)據(jù)，得出六個可靠的冬至?xí)r刻。在祖沖之測量冬至日的817年之后，郭守敬也接過了接力棒，進行了自古以來最準(zhǔn)確的測量。

郭守敬在《授時歷議》中說，將這六組數(shù)據(jù)，取相距日數(shù)，用相距年數(shù)來除，就能得到相應(yīng)那段時間的回歸年長度，用祖沖之測影（公元461年）到他自己測影（公元1278年）的日數(shù)除以年數(shù)，得到每年長度為365.2425日。

他具體是怎么算的呢？郭守敬也沒有給出解釋，我們可以自己來算算。

上文已知，祖沖之推算出的461年冬至是十一月三日3186分，郭守敬測算出來的1278年冬至是十一月二十九日未初三刻，換算成萬分制就是5750分，兩次測影相隔298403日、817年。用日數(shù)除以年數(shù)，(298403.5750-0.3186)/817=365.242664，和郭守敬說的365.2425略有差距，這說明他應(yīng)該還考慮了其他多方面因素。

數(shù)百年測量的價值還在于極小的誤差。在計算回歸年長度時，即使我們把具體時刻都去掉，只保留整數(shù)日，298403/817=354.242350，這比365.2425更符合當(dāng)時的理論值。也就是說，在這么長的時間跨度中，我們只要知道冬至是在哪一天，就能算出非常精密的回歸年長度。這正是這項超長期觀測的意義所在。

結(jié)語

古代歷家相信，天道流轉(zhuǎn)恒常不變，歷法的追求就是盡量吻合天道。因此在制定歷法時，歷家一方面自己測算當(dāng)時的影長，一方面又要利用古代的天象記錄，把盡可能多的數(shù)據(jù)納入自己的歷法之中，這樣才能下可推今，上可考古。古代天文記錄不僅有冬至?xí)r刻（用來測定一歲起始、測算回歸年），還有中星記錄（用來計算歲差）、日月食記錄等等，這些記錄都是在制作歷法時需要考慮到的。不過，受限于天象記錄的模糊性以及歷法技術(shù)本身的水平，還是有相當(dāng)一部分古代記錄難以符合歷法，在預(yù)測日食時也不時失敗，歷家雖然盡量擴大“歷數(shù)之?！钡姆秶?，但也對“天道之變”無可奈何。昭明而又難測的天道一直高懸在歷家頭頂，敬天法古的精神同樣在歷法中流淌著。

參考文獻(xiàn)：

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8.古代是怎么算出來一年 365 天的？-知乎：三種不同的紅色的回答

9.有哪些需要幾代人才能完成的科學(xué)實驗？-知乎：尞祡的回答