用割圓術(shù)打開微積分

微積分？聽起來(lái)很高大上！我也能懂嗎？

作者鄭重承諾：讀懂這篇科普最多需要初中數(shù)學(xué)知識(shí)！而且大部分不需要數(shù)學(xué)知識(shí)，只需要觀察力和想象力！

微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。它表現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)和變化的思想，讓數(shù)學(xué)從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)。上至三體問(wèn)題，下至投籃拋物，要想精確求解，都離不開微積分這一工具。

微積分主要包含三大部分：極限論、微分學(xué)、積分學(xué)（這會(huì)兒知道為什么叫“微積分”了吧？）。

這次微積分科普，會(huì)圍繞我們的老朋友進(jìn)行：圓周率π。

沒(méi)錯(cuò)！就是圓的周長(zhǎng)與直徑的比，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：3.1415926……

今年是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽誕辰1800周年。劉徽為了得出準(zhǔn)確的圓周率，創(chuàng)造了一種名叫“割圓術(shù)”的算法。所謂“割圓”，就是畫圓內(nèi)接正多邊形，增加邊數(shù)。他說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！?/p>

這里有一個(gè)重要概念：無(wú)限。一個(gè)重要方法：逼近。

看這張圖，隨著邊數(shù)增加，多邊形越來(lái)越接近圓，其周長(zhǎng)也越來(lái)越接近圓的周長(zhǎng)。

為了思考無(wú)限，我們用越來(lái)越大的數(shù)字來(lái)逼近它。48條邊的正多邊形，雖然不是“無(wú)限”條邊，但也很接近圓了吧？所以我們稍微想象一下，就可以猜到：有無(wú)限條邊時(shí)，多邊形就變成了圓！

上面的過(guò)程體現(xiàn)了“極限思想”。所謂極限，就是“趨勢(shì)”。我們把直徑為1的正六邊形的周長(zhǎng)記做C6，正12邊形周長(zhǎng)是C12……以此類推。

看這一串?dāng)?shù)：C6=3，C12≈3.096……Cn。當(dāng)n越來(lái)越大的時(shí)候，Cn就越來(lái)越接近π。

換句話說(shuō)，當(dāng)n大到一定程度的時(shí)候（比如n=48），Cn與π的“距離”非常小。數(shù)學(xué)上用兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值，來(lái)描述它們的距離。

再精細(xì)一些，把上面的“一定程度”換成某個(gè)大數(shù)N，“非常小的距離”換成任意的正數(shù)。當(dāng)邊數(shù)n大于N時(shí)，Cn-π的絕對(duì)值（距離）小于一個(gè)任意小的正數(shù)ε（N越大ε越?。?。這時(shí)把π稱為數(shù)列Cn的極限，稱“Cn趨于π”。

這就是數(shù)列極限的定義。

讓我們回到用割圓術(shù)求π，思路是這樣的：

求π只需求出圓的周長(zhǎng)，再除以直徑。首先是把正n邊形的邊長(zhǎng)累加，然后，讓n一直增大。當(dāng)n趨于無(wú)窮大，累計(jì)周長(zhǎng)就趨于π了。

所以我們不急于讓n變大。先固定n，得出累加表達(dá)式，再求極限！

看這張圖（以n=6為例），我們把圓畫在一個(gè)坐標(biāo)系里，圓心就是原點(diǎn)。把正n邊形邊長(zhǎng)寫作ds（前面加d表示“非常小”），邊長(zhǎng)的水平距離是dx，垂直距離是dy。

現(xiàn)在要用到初中的“勾股定理”：

ds2=dx2+dy2.

但同時(shí)知道dx、dy有點(diǎn)麻煩，可以換一種寫法，只保留dx嗎？

我們現(xiàn)在處理的是直線，初中數(shù)學(xué)有“斜率”k的概念。在這里，k=dy/dx。所以dy=k?dx.

換一種寫法:

ds2=dx2+k2dx2=(1+k2)dx2.

那么，正n邊形的周長(zhǎng)就是：

等號(hào)右邊的怪符號(hào)表示求和。

因?yàn)樵诙噙呅尾煌倪吷希琸是不一樣的。當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，ds越來(lái)越短，dx也越來(lái)越短，多邊形上每一點(diǎn)就對(duì)應(yīng)一個(gè)斜率k。當(dāng)我們用dx代替n來(lái)表示周長(zhǎng)Cn，這個(gè)式子就是以多邊形上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x為自變量的函數(shù)。

函數(shù)極限的定義與數(shù)列極限類似：當(dāng)Cn與π的距離小于任意正數(shù)ε（非常近），如果有正數(shù)δ，dx與0的距離小于δ。這時(shí)就叫dx趨于0時(shí)，Cn趨于π。

當(dāng)n趨于無(wú)窮大（dx趨于0）時(shí)，正多邊形不復(fù)存在，k的幾何意義是什么呢？

我們以任意一條邊為例觀察：邊與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這種線叫做圓的“割線”。我們固定其中一點(diǎn)，當(dāng)n增大，割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)越來(lái)越近，最終會(huì)是什么呢？

兩個(gè)交點(diǎn)合而為一！割線變成了切線！

所以，當(dāng)n趨于無(wú)窮大，k的幾何意義就是該點(diǎn)切線的斜率！

在微積分中，我們把k叫做“導(dǎo)數(shù)”，如圖所示的k就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)D處的導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)可表示為

f(x)'=dy/dx.

導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心。

如果把上式換個(gè)寫法：

dy=f(x)'dx.

又是什么意思呢？

dx是一段非常小的橫向距離（x的變化量），乘上x的導(dǎo)數(shù)之后，就是對(duì)應(yīng)的縱向距離。如果知道了函數(shù)f(x)，而且點(diǎn)(x，f(x))存在導(dǎo)數(shù)，就可以根據(jù)求導(dǎo)法則求出f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，借此得到dy。當(dāng)dx非常小的時(shí)候，dy非常接近于y的變化量。也就是說(shuō)，可以用直線估計(jì)曲線！在微積分角度看，只有把dx取得足夠小，曲線的微觀部分就是直線！

由圖片可知，當(dāng)dx越來(lái)越接近0，y的變化量Δy和dy的差就越來(lái)越小，最終可以用dy估計(jì)Δy的變化量（曲線也越來(lái)越接近直線）。

這時(shí)，我們把dy叫做“微分”。

需要指出，導(dǎo)數(shù)和微分存在的前提是函數(shù)連續(xù)。借助圖像來(lái)說(shuō)，如果圓有缺口，缺口處就沒(méi)有切線！因此該點(diǎn)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)和微分！

反過(guò)來(lái)，如函數(shù)可導(dǎo)，則函數(shù)連續(xù)。

現(xiàn)在回到求圓周率，我們要算的是n趨于無(wú)窮大時(shí)累計(jì)和的極限。

把累計(jì)和表示為：

其中x的大小在兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b之間。

如果函數(shù)f(x)是連續(xù)的，那么dx趨于0時(shí)，累計(jì)和的極限叫做“定積分”。a叫積分下限，b叫積分上限。寫作：

我們知道dx是橫向的一小段，而對(duì)每一個(gè)dx，f(x)是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，所以f(x)dx就是一個(gè)窄矩形的面積（如圖）。對(duì)這一系列矩形求和，取極限（dx趨于0），就是函數(shù)f(x)下曲邊梯形的面積（由函數(shù)圖像、x軸、縱向直線x=a和x=b圍成）！這就是積分的幾何意義。

斜線陰影部分即x=a、x=b之間的曲邊梯形

但是我們剛才只掌握了微分學(xué)，如何把求面積跟微分學(xué)建立聯(lián)系呢？微分是“化整為零”從而“化曲為直”，而積分是“化整為零”之后“集腋成裘”，二者好像很難關(guān)聯(lián)起來(lái)。

數(shù)學(xué)有一個(gè)重要思維叫“化歸”，也就是重新表達(dá)問(wèn)題，使之變成已經(jīng)解決的問(wèn)題。我們現(xiàn)在需要造出一座橋梁，把積分和微分打通！

接下來(lái)介紹一個(gè)重磅公式：牛頓-萊布尼茨公式。

我們提出一個(gè)新函數(shù)，叫“原函數(shù)”：

其中，t是自變量（δ≤t≤ε），函數(shù)f(t)在這一區(qū)域存在積分，x也在這一區(qū)域中。

根據(jù)定積分的幾何意義，原函數(shù)就是f(t)、水平軸、直線t=δ和t=x圍成的曲邊梯形的面積。

由上圖可得，我們要求的面積，是自δ到b的面積減去δ到a的面積（陰影部分減豎線陰影部分，就是斜線陰影部分），所以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：

那么，只要把原函數(shù)F(x)和微分學(xué)建立聯(lián)系，問(wèn)題就解決了！

現(xiàn)在思考一個(gè)問(wèn)題：對(duì)F(x)求導(dǎo)數(shù)（自變量為x），會(huì)得到什么？

我們已經(jīng)知道，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)可表示為dy/dx。dx趨于0時(shí)，dy是函數(shù)變化量。

根據(jù)定積分的幾何性質(zhì)，可以知道原函數(shù)的變化量是一個(gè)很窄的曲邊梯形，面積就是f(x)dx?，F(xiàn)在把它再“除”dx，得到的就是f(x)！所以，對(duì)一個(gè)函數(shù)求原函數(shù)后，再求導(dǎo)數(shù)，會(huì)得到最初的函數(shù)！換句話說(shuō)，求原函數(shù)是求導(dǎo)的逆運(yùn)算（就像加法是減法的逆運(yùn)算）。積分和微分成功建立了聯(lián)系！

因此，F(xiàn)(x)’=f(x)。

如果幾個(gè)函數(shù)只相差一個(gè)任意常數(shù)，對(duì)它們求導(dǎo)的結(jié)果是一樣的（平移曲線不會(huì)改變形狀，所以各點(diǎn)斜率不變）。用C表示常數(shù)，則

我們把新式子中的

稱為不定積分。根據(jù)求原函數(shù)與求導(dǎo)之間是逆運(yùn)算的關(guān)系，給出不定積分表。可以通過(guò)不定積分表，借助牛頓-萊布尼茨公式求解面積！概括說(shuō)就是：求面積就是求定積分，求定積分就需要求原函數(shù)，求原函數(shù)就查不定積分表！

為了方便，也把求原函數(shù)叫做“求積分”。

說(shuō)了這么多，π怎么算?。拷酉聛?lái)就是收尾大戲：

為了便于計(jì)算，令圓半徑為1。此時(shí)周長(zhǎng)為2π，半周長(zhǎng)的大小就是π。因?yàn)閳A是對(duì)稱的，只需算出圓周長(zhǎng)的四分之一，再乘以2就是半周長(zhǎng)，也就是π。

因?yàn)閤的取值范圍是0到1(半徑為一），因此圓四分之一周長(zhǎng)就是

剛才我們說(shuō)了，k就是圓在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。因?yàn)閳A的方程是

y2+x2=1

四分之一的圓的方程（x、y都大于0）就是

根據(jù)求導(dǎo)公式，得出導(dǎo)數(shù)

代入k得

=2(F(1)-F(0))

根據(jù)不定積分表，

arcsin(x)是正弦函數(shù)的反函數(shù)，就是把正弦函數(shù)的x和y顛倒過(guò)來(lái)，比如sin(π/2)=1,則arcsin(1)=π/2（π/2就是90度）。

因此，

2(F(1)-F(0))

=2arcsin(1)-2arcsin(0)

=2（π/2)

=π

因此，我們用微積分方法，也能算出圓周率！

我們從割圓術(shù)出發(fā)，討論了微積分的幾個(gè)重要部分：極限、微分學(xué)、積分學(xué)。最后用微積分重新算出了圓周率。

下面回顧一下：

割圓術(shù)的實(shí)質(zhì)，是用短小的直邊逼近圓周的曲線。當(dāng)我們把圓周無(wú)限細(xì)分，可以把幾乎看不出彎曲的短曲線看成直線。然后把這些直線的長(zhǎng)度求和，就相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)。

這里面有兩個(gè)過(guò)程。第一個(gè)是切割：在圓內(nèi)作越來(lái)越短的割線，割線最后會(huì)成為與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的切線，把這段非常短小的切線長(zhǎng)代替局部的曲線長(zhǎng)。切線的斜率叫“導(dǎo)數(shù)”。

第二個(gè)過(guò)程是把這些細(xì)微的短線求和，積少成多，求割線趨于0時(shí)的極限，稱為“積分”。

不論微分還是積分，都必須有一個(gè)前提：曲線必須是完整的，不可以有缺口——因?yàn)橹本€與缺口沒(méi)有交點(diǎn)，就沒(méi)有切線。換句話說(shuō)，曲線必須連續(xù)！因此，連續(xù)是微分、積分的前提。把有限的長(zhǎng)度切分成一系列細(xì)微部分，用越切越細(xì)的過(guò)程逼近結(jié)果，是微分、積分的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]常庚哲,史濟(jì)懷編.數(shù)學(xué)分析教程.上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社,2003.5

[2][日]小平邦彥著;裴東河譯.微積分入門[M].北京：人民郵電出版社,2019.3