科普中國-萬有引力定律

引力是四種基本相互作用之一，重力一般指的是地球的引力，或者天體對其表面物體的引力。

地球的引力垂直指向地心。在地球表面，重力方向可以認為是豎直向下。地球表面的重力加速度約為，在地球的不同位置這個值略有不同。

萬有引力公式最早由艾薩克·牛頓（IssacNewton）提出。阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）于1915年提出廣義相對論，將引力描述為時空曲率。

研究歷史

早期認識

古希臘哲學家亞里士多德認為地球是宇宙的中心，將宇宙中所有質量都吸引向它。他還認為物體下落的速度隨著其質量的增加而增加，這種觀點是錯誤的3。古希臘的很多其他科學家，如普魯塔克，正確地認識到引力不是地球獨有的4。

阿基米德發(fā)現(xiàn)了三角形的重心，但他不把引力解釋成一種力5。公元前6世紀，拜占庭亞歷山大學者約翰·菲羅波努斯（John Philoponus）提出了動力理論，修改了亞里士多德的理論6。

公元7世紀，印度數(shù)學家和天文學家婆羅摩笈多提出引力是一種將物體吸引到地球的吸引力的觀點7。約兩世紀后，波斯的比魯尼（Al-Biruni）認為引力并不是地球獨有的，其它天體也應該有引力8。

科學革命

在16世紀中葉，許多歐洲科學家通過實驗反駁了亞里士多德的觀點。西班牙多米尼加牧師多明戈·德·索托（Domingo de Soto）在1551年寫道，自由落體的物體均勻加速9。意大利物理學家詹巴蒂斯塔·貝內德蒂（Giambattista Benedetti）在論文中稱：由于比重，由相同材料制成但質量不同的物體會以相同的速度下落10。在1586年的代爾夫特塔實驗中，佛蘭德物理學家西蒙·史蒂文（Simon Stevin）觀察到，當炮彈從塔上下落時，兩枚大小和重量不同的炮彈以相同的速度下落11。在16世紀后期，伽利略·伽利萊（Galileo Galilei）對從斜坡上滾動的球的仔細測量中發(fā)現(xiàn)：所有物體的引力加速度是相同的12。

1604年，伽利略正確地假設了下落物體的距離與所經(jīng)過的時間的平方成正比13。1640年至1650年間，意大利科學家弗朗切斯科·馬麗亞·格里馬爾迪（Francesco Maria Grimaldi）和喬瓦尼·巴蒂斯塔·里喬利（Giovanni Battista Riccioli）證實。他們通過測量鐘擺的震蕩計算了地球引力的大小14。

牛頓萬有引力定律

1657 年，羅伯特·胡克出版了《顯微圖譜》，他在書中假設月球一定有自己的引力15。1666 年，他又補充了兩條原理：所有物體都沿直線運動，除非受到某種力的作用而發(fā)生偏轉；物體之間靠的越近，吸引力也就越大。1666 年，胡克在寫給皇家學會的一封信中寫道16：

我將解釋一個與迄今所接受的世界體系截然不同的世界體系。它建立在以下立場之上。1. 所有天體不僅有引力將各部分引向它們自己的中心，而且它們還在各自的作用范圍內相互吸引。2. 所有做簡單運動的物體都會繼續(xù)沿直線運動，除非受到某種外力不斷偏離直線，導致它們畫出圓、橢圓或其他曲線。3. 物體之間的距離越近，這種吸引力就越大。至于這些力隨著距離的增加而減小的比例，我承認我還沒有發(fā)現(xiàn)……

胡克在 1674 年的格雷欣演講《證明地球周年運動的嘗試》中解釋說，引力適用于“所有天體”17。

1684 年，牛頓將一份題為《論物體在軌道上的運動》的手稿寄給了埃德蒙·哈雷，這份手稿為開普勒的行星運動定律提供了物理依據(jù)18。幾年后，牛頓出版了《自然哲學的數(shù)學原理》。在這本書中，牛頓將引力描述為一種宇宙力，并聲稱“使行星保持在軌道上的力必定與它們到其繞轉中心的距離的平方成反比”。這句話后來被濃縮為下面的平方反比定律：

（1）

其中是力，是相互作用物體的質量，是萬有引力常數(shù)， 是引力相互作用物體之間的距離18。

1798年英國物理學家亨利·卡文迪許（Henry Cavendish）測定了引力常數(shù)

1821年，法國天文學家亞歷克西斯·布瓦爾 (Alexis Bouvard)利用牛頓萬有引力定律創(chuàng)建了一個天王星軌道模型，結果顯示該模型與天王星的實際軌跡有很大差異。因此，許多天文學家推測天王星軌道之外可能有一個天體對它施加了力的作用。1846 年，天文學家約翰·庫奇·亞當斯 (John Couch Adams)和于爾班·勒威耶 (Urbain Le Verrier)分別利用牛頓定律預測了海王星在夜空中的位置，并在一天之內發(fā)現(xiàn)了這顆行星19。

廣義相對論

天文學家注意到水星軌道存在一個無法用牛頓理論解釋的偏心率：軌道近日點每世紀增加約。最初，天文學家認為可能存在一個還沒有被發(fā)現(xiàn)的天體，例如比水星更靠近太陽的行星，但所有努力都無濟于事。1915 年，阿爾伯特·愛因斯坦發(fā)展了廣義相對論，精確地解釋了水星軌道的進動20。

在廣義相對論中，時空曲率與物體運動相關。愛因斯坦開始以等效原理的形式研究這個想法，他后來將這一發(fā)現(xiàn)描述為“我一生中最快樂的想法”。在該理論中，自由落體被認為等同于慣性運動，這意味著自由落體的慣性物體相對于地面上的非慣性觀察者會加速21。與牛頓物理學相反，愛因斯坦認為這種加速可以在不向物體施加任何力的情況下發(fā)生。

愛因斯坦認為時空被物質彎曲，自由落體的物體在彎曲的時空中沿著局部直線路徑運動。這些直線路徑稱為測地線。愛因斯坦認為施加在物體上的力會導致其偏離測地線。

理論

牛頓萬有引力定律

牛頓萬有引力定律是

（2）

其中是力，是相互作用物體的質量， 是萬有引力常數(shù)（已修改）， 是引力相互作用物體之間的距離

超距作用

牛頓提出萬有引力定律后，對于他的方程所暗示的“超距作用”的概念深感不安。1692年，牛頓在寫給本特利的第三封信中寫道21：

一個物體可以通過真空在遠處作用于另一個物體，而無需任何其他的傳遞力和相互作用的媒介，在我看來，這是非?；闹嚨摹Ｎ蚁嘈?，在哲學問題上具有稱職的思維能力的人永遠不會陷入其中。

因此，用牛頓的話來說，他從來沒有“指定這種力量的原因”，他還拒絕提供關于這種力量的原因的假設。在牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理中》，他寫道21：

我還沒有能夠從現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)引力的這些特性的原因，我沒有假裝任何假設……只要引力確實存在，并根據(jù)我所解釋的定律發(fā)揮作用，就足夠了，而且它充分地解釋了天體的所有運動。

與牛頓理論不符的觀測結果

1.牛頓的理論不能完全解釋行星軌道的近日點歲差，尤其是水星軌道。水星進動的觀測結果與牛頓的理論預言存在著每世紀43角秒的差距。

2.使用牛頓理論預測的光線在重力場中角度的偏轉僅為實際觀測的一半。

測地線方程

考慮只受引力場作用的一個粒子。根據(jù)等效原理，存在一個坐標系，粒子在這個坐標系中運動方程是時空中的一條直線，即

（3）

其中參數(shù)可以是固有時，對于零質量粒子，如光子，參數(shù)通常取。自由降落坐標是的函數(shù)。根據(jù)上式，經(jīng)過具體計算可以得到測地線方程

（4）

愛因斯坦場方程

引力的作用量是(5)

其中曲率標量，是Ricci曲率張量，。對上述作用量變分，可以得到愛因斯坦場方程

(6)

愛因斯坦場方程中還可以引入一個常數(shù)項，一般寫成

(7)

這個方程左邊表示了時空的幾何性質，右邊表示的是時空中物質的運動。

引力場一般運動方程

以下討論應用廣義相對論理論。我們考慮一個在各向同性引力場中自由下落的質點或光子，度規(guī)的一般形式是

（8）

其中是任意函數(shù)，根據(jù)實際問題選取。代入測地線方程(4)，經(jīng)過計算，我們可以得到在引力場中一般運動方程是

（9）

（10）

（11）

其中常數(shù)分別表示能量和角動量。

引力常量的測定

牛頓在推出萬有引力定律時，沒能得出引力常量G的具體值。G的數(shù)值于1798年由卡文迪什利用他所發(fā)明的扭秤得出。2卡文迪什的扭秤試驗，不僅以實踐證明了萬有引力定律，同時也讓此定律有了更廣泛的使用價值。

扭秤的基本原理是在一根剛性桿的兩端連結相距一定高度的兩個相同質量的重物，通過秤桿的中心用一扭絲懸掛起來。秤桿可以繞扭絲自由轉動，當重力場不均勻時，兩個質量所受的重力不平行。這個方向上的微小差別在兩個質量上引起小的水平分力，并產(chǎn)生一個力矩使懸掛系統(tǒng)繞扭絲轉動，直到與扭絲的扭矩平衡為止。扭絲上的小鏡將光線反射到記錄相板上。當扭絲轉動時，光線在相板上移動的距離標志著扭轉角的大小。平衡位置與扭秤常數(shù)和重力位二次導數(shù)有關。在一個測點上至少觀測3個方位，確定4個二次導數(shù)值，測量精度一般達幾厄缶。

根據(jù)扭力系統(tǒng)的構造形狀，分為z型、L型和斜臂式扭秤。z型扭秤由一個輕金屬制成的z型秤臂、兩個質量相等的重荷和一根細金屬絲組成的。兩個重荷分別固定在z型秤臂的兩端。細金屬絲將整個系統(tǒng)懸掛起來，組成一套扭力系統(tǒng)。由于兩個重荷處于不同的位置，所以，當通過兩個重荷的重力等位面Q?和Q?。互不平行或彎曲時，兩個重荷將受到重力場水平分量的作用。當重力場水平分量gH?和gH?的大小和方向不同時，稈臂就要繞著扭絲轉動，直到水平旋轉的重力矩和扭絲的扭力矩相平衡為止。秤臂偏轉的角度除和扭力系統(tǒng)的構造和扭絲的扭力系數(shù)有關外，還和兩個重荷間的重力變化有關。因此，準確記錄扭力系統(tǒng)的偏角，就可以求出重力位的二次導數(shù)。由于扭力系統(tǒng)的靈敏度很高，秤臂穩(wěn)定下來的時間較長。同時還需要在3～5個方向上照相記錄，所以，儀器附有自動控制系統(tǒng)，并安放在特制的小房里工作。儀器的操作和測量結果的計算都比較煩瑣，每測—個點需要2～3小時，工件效率較低。

扭秤的測量結果用矢量圖表示，用一短線表示曲率，矢量方向相應于最小曲率平面的方位，矢量長度表示等位面曲率差大小 。在短線中心以箭頭畫出總梯度，指向重力增加的方向。

扭秤的靈敏度很高并可測多個參數(shù)，但是也有其不足之處。由于具有極高的靈敏度，對于測試環(huán)境的要求也很高，易受外界干擾，包括溫度、地面震動、大氣壓強波動、扭絲的滯彈性效應等。因此對于精度要求不高的重力測量工作，一般都是重力儀去完成。但是對于高精度的測量，如引力物理方面的測量，以及高精度儀器的驗證以及標定，都需要利用扭秤來完成。因此即便是如今，扭秤在實驗物理領域也有著相當重要的地位。

卡文迪什測出的G=6.67×10?11N·m2/kg2 ，與現(xiàn)在的公認值6.67×10?11N·m2/kg2極為接近；直到1969年G的測量精度還保持在卡文迪什的水平上。

廣義相對論的檢驗

愛因斯坦與1916年提出了廣義相對論的三個檢驗實驗，這被稱為廣義相對論的“經(jīng)典測試”22：

1. 水星軌道近日點的進動

2. 太陽對光線的偏轉

3. 光的引力紅移

水星近日點進動

根據(jù)牛頓動力學，兩個天體在相互引力下的運動軌跡是橢圓，系統(tǒng)的質心位于橢圓的焦點上。牛頓動力學中，上述兩個天體的運動應該是周期性的。但是1895年，烏爾班·讓·約瑟夫·勒維里爾（Urbain Le Verrier）研究了1697年至1848年水星凌日的觀測結果發(fā)現(xiàn)，實際的歲差與牛頓理論預測的值相比，每世紀差。1882年，西蒙·紐科姆（Simon Newcomb）重新估計這個值為。23

根據(jù)物體在引力場中的運動方程(9)(10)(11)，經(jīng)過一系列計算得到，廣義相對論預言的進動是

（12）

廣義相對論預言：水星每世紀的進動角度約為，這與實驗值符合的很好。

太陽對光線的偏移

根據(jù)光在引力場中的運動方程(9)(10)(11)，經(jīng)過一系列計算得到，從非常遠處經(jīng)過太陽的光線應該向太陽偏折。

對光線的偏折的第一次觀測是測量的是恒星在天球上經(jīng)過太陽附近時位置的變化，這是在1919年5月29日全日食時亞瑟·愛丁頓（Arthur Eddington）和他的合作者進行的24。不過這個實驗的數(shù)據(jù)與愛因斯坦的理論符合的不是很好。不過后來科學家們又對太陽光線的偏移進行了多次測量，又證實了愛因斯坦的理論。

光的引力紅移

在史瓦西度規(guī)中，對于無窮遠處的觀察著，光的引力紅移是

（13）

其中分別是無窮遠處的觀察者測得的光的波長和發(fā)射源處光的波長，是發(fā)射源的半徑，是史瓦西半徑。

波普爾于1954年首次測量了白矮星40 Eridani B的引力紅移，測量結果為25。

應用

超重與失重

當我們主要研究在重力作用下物體的運動時，超重是物體所受彈力（拉力或支持力）大于物體所受重力的現(xiàn)象。當物體做向上加速運動或向下減速運動時，物體均處于超重狀態(tài)。超重現(xiàn)象在發(fā)射航天器時更是常見，所有航天器及其中的宇航員在剛開始加速上升的階段都處于超重狀態(tài)。相反，物體受到的彈力小于物體所受重力的現(xiàn)象被稱為失重。

航天器在發(fā)射和返回的過程中，由于加速度的關系，出現(xiàn)了超重現(xiàn)象。通常采用值的方法來表示。如果一個