科普中國-加速度

速度的變化量與對應(yīng)時間的比值，即速度的變化率，稱為加速度（acceleration）。加速度是描述速度變化快慢的物理量，通常用a表示。加速度是矢量，方向是速度變化（量）的方向。在不同坐標系中，加速度可以分解為不同的分量。對于同一個加速度，選取不同的參考系，依據(jù)參考系間的相對運動，可以得到加速度在參考系間的變換式。在已知加速度的情況下，依據(jù)加速度的定義求解微分方程，可以得到研究對象的運動方程。

定義

速度v是時間t的函數(shù)，在t~t+t時間內(nèi)，速度變化量為

則在t時間內(nèi)的平均加速度（averageacceleration）定義為

當t趨近于零時，定義瞬時加速度（instantaneousacceleration），簡稱加速度，即

上式已運用，其中x是位移。

加速度的量綱為【L】【T】-2，常用單位為m/s2（讀作米每二次方秒）。

加速度是矢量，具有大小和方向。在規(guī)定加速度的正方向后，加速度的正負號表示方向，絕對值表示大小。

加速度分解

直角坐標系分解

在固定標架的空間直角坐標系中，設(shè)質(zhì)點的位置矢量r可分解為

其中x，y，z均是時間t的函數(shù)，是一組固定（不隨時間變化）的正交基。則質(zhì)點的速度可表示為

其中表示x對t的一階導，表示x對t的二階導，其它同理。則質(zhì)點的加速度可表示為

設(shè)，，為沿三個坐標軸方向的加速度分量，則質(zhì)點加速度可分解為x，y，z三個方向的分量。

極坐標系分解

將質(zhì)點運動限制在平面并建立極坐標系，用r，θ分別表示極徑與極角，用，（方向顯然會改變）分別表示r，θ方向上的單位矢量。則質(zhì)點的位置矢量r**可表示為

上式對時間t求導，可得質(zhì)點的速度

其中，，圖解如下圖圖微元法所示。1稱為徑向速度，稱為橫向速度。

v對t進一步求導，可得質(zhì)點的加速度

整理，可得

稱為徑向加速度，稱為橫向加速度。則質(zhì)點加速度可分解為r，θ方向上的分量。

自然坐標系分解

質(zhì)點在做平面曲線運動時，可將運動軌跡分解為一系列無窮小圓弧段運動。對任意時刻t，設(shè)每一小圓弧段所屬的曲率圓的曲率半徑為ρ，以質(zhì)點所在位置為原點，沿著該時刻v的方向設(shè)置切向單位矢量τ，對著該處曲率圓圓心的方向設(shè)置法向單位矢量n，以τ和n為基底（類似于極坐標系，這組基底的方向也會改變，對時間t的導數(shù)也有類似的規(guī)則）的坐標系即為自然坐標系。1如右圖所示。

在自然坐標系中，質(zhì)點的速度可表示為

求導可得加速度

稱為切向加速度，稱為法向加速度，則質(zhì)點加速度可分解為切向和法向兩個方向的分量。

注意：加速度在極坐標系和自然坐標系的分解中，涉及到的相關(guān)概念需要辨析。法向加速度和徑向加速度并不等同，法向加速度和徑向加速度的第二項也不等同，只有在質(zhì)點做圓周運動且極坐標系原點選在圓心位置時三者才相等。

加速度變換

平動變換

設(shè)S系為一慣性參考系，S’系相對于S系平動，即對應(yīng)坐標軸始終相互平行地運動（直線和曲線運動均可）。設(shè)質(zhì)點在S系中位矢為r（t），在S’系中位矢為r’（t’），S’系原點O’在S系中位矢為，如右圖所示：

則有如下關(guān)系

根據(jù)伽利略相對性原理，，則有

由此可得

通常將稱為絕對加速度（下同），稱為相對加速度（下同），稱牽連加速度。

定軸轉(zhuǎn)動變換

設(shè)S系為一慣性參考系，S’系與S系原點重合，S’系以垂直于坐標平面的角速度ω，角加速度β相對于S系定軸轉(zhuǎn)動。設(shè)質(zhì)點在S系中位矢為，在S’系中位矢為。如下圖所示：1

則有如下關(guān)系

對于基矢量，有

其中分別表示在S和S’系下對時間求導。因為標量對時間求導不受參考系影響，因此有

代入，即

仿照上一步，再次求導可得

展開并整理，最終得到

其中稱為切向加速度，稱為科里奧利加速度，稱為向心加速度，這三項共同構(gòu)成牽連加速度。

加速度與運動

由于二維及以上運動涉及的微分方程常常極其復(fù)雜，故在此不做闡述，僅考慮一維運動情形：

當已知時，只需對