量子蒙卡新算法：讓糾纏熵不再“難纏”？

作者按

盡管現(xiàn)有的量子蒙卡算法可實(shí)現(xiàn)大尺寸量子多體系統(tǒng)中糾纏熵的精確計(jì)算，但其高昂的計(jì)算代價(jià)和較高的技術(shù)壁壘嚴(yán)重限制了大規(guī)模糾纏熵?cái)?shù)據(jù)的提取，從而也限制了我們對(duì)凝聚態(tài)系統(tǒng)與量子糾纏深刻關(guān)系的進(jìn)一步理解。為此，我們提出了一種基于量子蒙特卡羅模擬的創(chuàng)新性解決方案——雙組份重賦權(quán)退火算法（bipartite reweight-annealing algorithm）。該算法實(shí)現(xiàn)了量子多體系統(tǒng)糾纏熵及其導(dǎo)數(shù)的高效掃描，通過(guò)此算法，我們成功揭示這些量在臨界點(diǎn)附近和不同相中的普適行為。除此之外，該方法具有一定的普適性：它不僅可以拓展到費(fèi)米子系統(tǒng)，也可以用來(lái)計(jì)算糾纏負(fù)值度(negativity)，同時(shí)還可以作為非對(duì)角測(cè)量的一般性解決辦法。

撰文 | 王哲、嚴(yán)正（西湖大學(xué)物理系）

量子糾纏自量子力學(xué)誕生之初，其“詭異”特性一直是科學(xué)界爭(zhēng)議與探討的焦點(diǎn)。早期研究主要關(guān)注其理論本質(zhì)及對(duì)量子力學(xué)基礎(chǔ)的挑戰(zhàn)，近三十年來(lái)，隨著量子信息科學(xué)的突破性進(jìn)展，量子糾纏已發(fā)展成為跨學(xué)科研究的核心樞紐。

在基礎(chǔ)科學(xué)層面，糾纏理論已深度融入原子物理、量子光學(xué)、高能物理乃至宇宙學(xué)研究。在交叉應(yīng)用領(lǐng)域，其與凝聚態(tài)物理、統(tǒng)計(jì)力學(xué)及量子場(chǎng)論的深度融合，催生了多體量子系統(tǒng)研究的新范式。特別是，糾纏理論對(duì)凝聚態(tài)物理產(chǎn)生了革命性影響。當(dāng)前，在量子信息科學(xué)與傳統(tǒng)物質(zhì)科學(xué)的交叉前沿，通過(guò)糾纏視角揭示量子多體系統(tǒng)的演化規(guī)律與臨界行為，已成為理論物理最具活力的研究方向之一。量子多體糾纏的相關(guān)標(biāo)度理論已成為研究量子物質(zhì)態(tài)的基本組織原理，其標(biāo)度行為深刻揭示了量子多體態(tài)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，并用于區(qū)分不同量子相及其相變。但是，目前對(duì)于二維及高維強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體系統(tǒng)而言，現(xiàn)有糾纏熵計(jì)算方法面臨計(jì)算成本高昂、技術(shù)復(fù)雜度高等挑戰(zhàn)。這使得研究者無(wú)法像在一維系統(tǒng)那樣，通過(guò)掃描糾纏熵來(lái)完整刻畫量子物相及相圖并精確表征臨界現(xiàn)象，制約了基于糾纏熵對(duì)于凝聚態(tài)系統(tǒng)的全面分析。

受限于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的內(nèi)存容量，嚴(yán)格對(duì)角化或者密度矩陣重整化群一類的方法在二維強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)所能計(jì)算的系統(tǒng)尺寸相對(duì)較小，或者局限于一些維系統(tǒng)。在二維及高維系統(tǒng)，現(xiàn)有的糾纏熵算法主要是借助于量子蒙特卡洛模擬來(lái)實(shí)現(xiàn)的。讓我們首先對(duì)現(xiàn)有的糾纏熵蒙特卡洛方法進(jìn)行一個(gè)總結(jié)。馮諾依曼熵的計(jì)算往往需要得到具體的波函數(shù)，這對(duì)于蒙卡計(jì)算非常具有挑戰(zhàn)性。在這里，我們主要介紹馮諾依曼熵的單參數(shù)推廣——n階Rényi糾纏熵

尺寸的增加指數(shù)衰減，所以通過(guò)這種辦法只對(duì)小系統(tǒng)奏效，無(wú)法通過(guò)蒙卡模擬精確計(jì)算大尺寸的糾纏熵。

為克服這一困難，文獻(xiàn)[1, 3]提出了糾纏區(qū)域增量法，其核心思想是將自旋逐漸放入糾纏區(qū)域，并將所有中間過(guò)程的比率連乘，最終得到目標(biāo)比值。將一個(gè)極小的值分解為多個(gè)較大值的乘積，通過(guò)計(jì)算每個(gè)中間比率，可高精度提取糾纏熵。但該算法的缺點(diǎn)是：格點(diǎn)數(shù)必須為整數(shù)，導(dǎo)致中間過(guò)程只能拆分為有限步驟，且部分中間比率仍可能趨近于零；計(jì)算過(guò)程中副本流形（replica manifold）會(huì)因中間步驟而改變，這增加了量子蒙特卡洛模擬的

造），使得中間的增量連續(xù)化，即，可以根據(jù)計(jì)算需求，進(jìn)行中間過(guò)程的任意分割[4, 5]。該方法的優(yōu)勢(shì)是：能夠模擬到前所未有的系統(tǒng)尺寸和精度。不足之處是：需引入額外的細(xì)致平衡條件，顯著增加了算法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度；由于虛擬中間過(guò)程的非物理特性，這些中間結(jié)果無(wú)法有效利用，導(dǎo)致大量的計(jì)算資源浪費(fèi)。

我們最近提出了一種雙組份重賦權(quán)退火[6,7]量子蒙特卡洛新算法[8]。與傳統(tǒng)算法直接計(jì)算

整個(gè)參數(shù)路徑下兩種配分函數(shù)的比值一次性求解。這種方式的主要優(yōu)勢(shì)可概括為以下兩點(diǎn)：一是單次模擬即可獲得糾纏熵隨參數(shù)的連續(xù)變化曲線，大大降低了計(jì)算成本；二是算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化，無(wú)需復(fù)雜流形切換，模擬各自流形即可，代碼易擴(kuò)展至各類多體模型，例如費(fèi)米子模型等[9]。此外，我們想強(qiáng)調(diào)的是，這種雙組份重賦權(quán)退火的思想是具有普適性的。除了本文所著重強(qiáng)調(diào)的糾纏熵外，它也可以用來(lái)計(jì)算Rényi負(fù)值度(negativity)[10]。

以看成測(cè)量?jī)蓚€(gè)不同配分函數(shù)的比值，過(guò)去我們不知道如何直接計(jì)算這兩種配分函數(shù)的比值，而現(xiàn)在可以應(yīng)用雙組份重賦權(quán)退火量子蒙特卡洛算法來(lái)計(jì)算。

此外，我們還提出了一種無(wú)需依賴密集糾纏熵?cái)?shù)據(jù)、避免數(shù)值微分的方法來(lái)計(jì)算糾纏熵的導(dǎo)數(shù)。該公式僅需計(jì)算不同時(shí)空流形下的能量差值即可直接獲得糾纏熵導(dǎo)數(shù)結(jié)果。這使得我們首次計(jì)算了二維強(qiáng)關(guān)聯(lián)自旋系統(tǒng)中糾纏熵導(dǎo)數(shù)。

下面我們來(lái)著重聊一下怎樣通過(guò)雙組份重賦權(quán)退火來(lái)高效計(jì)算多體糾纏熵[8]。

情況可以是直積態(tài)，也可以是將環(huán)境與糾纏區(qū)域之間的相互作用調(diào)為零）。在論文中我們還給出了另外一種方法：從精確對(duì)角化可解的尺寸開(kāi)始，通過(guò)迭代退火系統(tǒng)的尺寸（將若干個(gè)小系統(tǒng)之間的耦合強(qiáng)度從0退火增大到目標(biāo)值，從而得到大尺寸系統(tǒng)），最終得到大尺寸糾纏熵的值[8]。

總結(jié)來(lái)看：兩個(gè)配分函數(shù)單獨(dú)計(jì)算；中間的路徑是沿著實(shí)際參數(shù)路線，所得到的糾纏熵值都是物理的。到現(xiàn)在為止，大家可能已經(jīng)能感受到該算法的優(yōu)勢(shì)：?jiǎn)未文M即可獲得糾纏熵隨參數(shù)的連續(xù)變化曲線，大大降低了計(jì)算成本；算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化，無(wú)需復(fù)雜流形切換，代碼易擴(kuò)展至各類多體模型。

如果你覺(jué)得以上計(jì)算仍然復(fù)雜，計(jì)算量仍然大，但又想通過(guò)糾纏熵來(lái)做點(diǎn)事情的話，可以考慮糾纏熵的導(dǎo)數(shù)。可能你此時(shí)立馬就又有疑問(wèn)啦：數(shù)值方法一般都是通過(guò)數(shù)值微分來(lái)計(jì)算相應(yīng)物理量的導(dǎo)數(shù)，往往需要稠密并且更加精確的原函數(shù)數(shù)據(jù)，那豈不是計(jì)算代價(jià)爆棚？但事實(shí)也并非如此，例如，比熱和磁化率并不用通過(guò)對(duì)能量或磁化的數(shù)值微分而得到，其有自己獨(dú)立計(jì)算公式。在我們的工作[8]中，我們推導(dǎo)了糾纏熵導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，并通過(guò)數(shù)值的結(jié)果證明了它的正確性。公式如下（具體的推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)[8]）：

為了清晰起見(jiàn)，我們拿一個(gè)具體的模型來(lái)翻譯一下這個(gè)公式。以自旋-1/2 二聚化海森堡模

該很容易就能看出，這類似于在兩個(gè)不同的流形下分別計(jì)算能量。有了導(dǎo)數(shù)，這同時(shí)也啟發(fā)我們另外一種計(jì)算糾纏熵的方法——積分法（顧名思義就是把導(dǎo)數(shù)乘以參數(shù)的差值然后求和起來(lái)）。如圖2，我們的數(shù)據(jù)證實(shí)了這一點(diǎn)，同時(shí)也證明了導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式的正確性。這一計(jì)算導(dǎo)數(shù)方法的優(yōu)勢(shì)在于：無(wú)需數(shù)值微分（無(wú)需稠密的糾纏熵?cái)?shù)據(jù)），可以根據(jù)計(jì)算需求進(jìn)行任意參數(shù)點(diǎn)計(jì)算，大大降低了計(jì)算成本；計(jì)算屬于對(duì)角測(cè)量，程序編寫簡(jiǎn)單。

符合理論預(yù)測(cè)的。此外，我們通過(guò)糾纏熵與其導(dǎo)數(shù)全面表征了臨界現(xiàn)象。在這之前，有關(guān)糾纏熵的工作主要是聚焦在系統(tǒng)的某個(gè)確定相或已知臨界點(diǎn)上。而在我們的工作中，結(jié)合糾纏熵及其導(dǎo)數(shù)能完整地提取到系統(tǒng)的臨界點(diǎn)及其臨界指數(shù)。如圖3(a2)和(b2)所示，糾纏熵在臨界點(diǎn)處會(huì)有凸凹性的變化，這在其導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)上體現(xiàn)得更加清晰，可以看到其導(dǎo)數(shù)在臨界點(diǎn)處有個(gè)峰。通過(guò)外推峰的位置，我們可以確定系統(tǒng)的臨界點(diǎn)。同時(shí)，我們提取了糾纏熵面積律前面的系數(shù)，如圖3(a4)和(b4) 所示。結(jié)合糾纏熵標(biāo)度公式的主項(xiàng)系數(shù)滿足|a(J)-a(Jc)|~|J-Jc|ν[12,13]，我們成功提取了普適的臨界指數(shù)ν。

總結(jié)來(lái)看，在量子蒙卡的框架下，我們創(chuàng)新性地引入了雙組份重賦權(quán)退火方案。它應(yīng)用靈活、便于推廣，不僅可以計(jì)算玻色[8]和費(fèi)米系統(tǒng)的糾纏熵文[9]，還可以用來(lái)計(jì)算Rényi負(fù)值度 (negativity) [10]和魔法（magic）或不穩(wěn)定性（non-stabilizerness）[14], 同時(shí)還可以作為非對(duì)角測(cè)量的一種普適測(cè)量方法[11]。對(duì)這些工作感興趣的朋友們，可以閱讀我們相關(guān)的文章。

參考文獻(xiàn)

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