古人如何快速數(shù)清十幾層的酒壇？北宋科學家沈括的妙招！

5月20日，浙江省沈括科普基金會正式成立。你也許對沈括并不陌生，但真的了解他取得的科學成就嗎？聽說過他提出的“隙積術(shù)”嗎？本期科小二為您解讀沈括的重要科學成就之一：隙積術(shù)！

想象一下，你是一家古代酒坊的掌柜，店里堆滿了十幾層酒壇，從底層到頂層，每一層的長和寬都比下一層少擺一個壇子。如果讓你清點總數(shù)，難道要一層層數(shù)到天黑嗎？別急，北宋“科學全才”沈括早就發(fā)明了一個神奇的方法——隙積術(shù)，不僅能快速算清酒壇，還意外推動了中國古代數(shù)學的飛躍！

連續(xù)與離散：酒壇堆中的數(shù)學漏洞我們把剛才的數(shù)酒壇問題細化一下：假設有這樣一堆疊在一起的酒壇，每一層的長和寬都比下一層少擺一個壇子，頂層有22個，第二層有32個……底層有122個，共11層，酒壇總數(shù)就是22+32+…+122。

這其實是一個二階等差數(shù)列求和問題。我們平時說的“等差數(shù)列”（比如1，3，5，7……）是“一階等差數(shù)列”，相鄰兩項之間的差是相等的。而像1、4、9、16、25……這樣的數(shù)列，相鄰兩項之間的差構(gòu)成一個等差數(shù)列（在這個例子中是3、5、7、9……），這就是“二階等差數(shù)列”。

當時，對于各種實心幾何體，大多已經(jīng)有了現(xiàn)成的體積公式。而酒壇堆垛與棱臺接近，能不能用計算棱臺體積的“芻童術(shù)”來計算酒壇總數(shù)呢？

棱臺

沈括發(fā)現(xiàn)，用芻童術(shù)計算酒壇、棋子這類堆疊物的數(shù)量時，結(jié)果總是比實際數(shù)量少。其實，芻童術(shù)計算的是實心無縫隙物體的體積，而酒壇堆疊時每層都會空出縫隙，因此套用傳統(tǒng)公式會有偏差。

于是他腦洞大開： 既然舊公式不準，那就給它打個“數(shù)學補丁”。

幾何與級數(shù)：堆疊縫隙開啟數(shù)學新方向沈括將離散問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)幾何模型（如棱臺體積），并引入修正項，最終得出了隙積術(shù)。

《夢溪筆談》書影，圖源：識典古籍

沈括在《夢溪筆談》中寫道：“余思而得之，用‘芻童法’為上行、下行，別列下廣，以上廣減之，余者以高乘之，六而一，并入上行?！?這句話用現(xiàn)代語言講就是：

1. 先按實心體積算：把這種堆垛想象成一個實心的長方棱臺，用芻童術(shù)算出體積。

2. 再補上縫隙的誤差：額外計算一個修正值（即下底寬減上底寬，乘高，除以六），與第一步得到的結(jié)果相加。

總結(jié)成公式就是：

總數(shù)量 = 芻童術(shù)結(jié)果 + 修正項

修正項 = 層數(shù)×(底層寬?頂層寬)/6

沈括用這個公式計算前文提到的11層酒壇，結(jié)果是649個，和逐層硬算的結(jié)果分毫不差！沈括的公式不僅跳過了逐層計算的麻煩，還精確修正了誤差。

古代與現(xiàn)代：隙積術(shù)的歷史意義隙積術(shù)看似只是一個數(shù)堆垛物體數(shù)目的技巧，卻在數(shù)學史上投下了一塊巨石：

1. 突破傳統(tǒng)數(shù)學邊界：傳統(tǒng)幾何體積算法僅適用于連續(xù)的幾何體（無縫隙），而隙積術(shù)首次解決了離散堆積物（如酒壇、棋子）的數(shù)量計算問題。而且，此前的中國古代數(shù)學僅掌握等差級數(shù)計算（如1+2+3+…+n），隙積術(shù)首次研究二階等差級數(shù)（12+22+32+…+n2），打開了高階等差級數(shù)研究的大門。

2. 啟發(fā)宋元“垛積術(shù)” ：南宋楊輝在《詳解九章算法》中發(fā)展出三角垛、方垛等公式，元代朱世杰的《四元玉鑒》進一步將垛積術(shù)推至四階、五階等差級數(shù)。

《四元玉鑒細草》書影，圖源：百度百科

3. 連續(xù)與離散的辯證方法：沈括以連續(xù)幾何模型解決離散問題，再以修正項彌補間隙誤差，體現(xiàn)了“化離散為連續(xù)，再回歸離散”的辯證思維。此外，隙積術(shù)用幾何公式解決數(shù)列求和問題，體現(xiàn)了中國古代數(shù)學的“象數(shù)結(jié)合”思想（即數(shù)形結(jié)合）。隙積術(shù)既有理論上的突破，又兼顧實用性，成為中國古代數(shù)學“經(jīng)世致用”與邏輯推演結(jié)合的典范。

英國科學史家李約瑟高度評價隙積術(shù)，認為它是“中世紀中國數(shù)學最杰出的成就之一”。當代數(shù)學家吳文俊也指出，宋元垛積術(shù)中隱含的遞推思想，可視為有限差分法的早期雛形。

沈括的隙積術(shù)不僅是一項數(shù)學成果，更是中國古代科學創(chuàng)新精神的表現(xiàn)。它開創(chuàng)了中國高階等差級數(shù)研究的先河，推動了宋元數(shù)學的發(fā)展，并在方法論上為后世提供了“連續(xù)與離散結(jié)合”“實用與理論并重”的寶貴范式。

更令人驚嘆的是，沈括這位“跨界大神”還研究過石油開采、磁偏角、節(jié)氣歷法……他用隙積術(shù)告訴我們：生活中的難題，往往是科學革命的起點。當你下次面對堆積的物品時，不妨想想沈括——或許下一個改變世界的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，就藏在眼前的縫隙里。

審核專家：邸繼征，美國北達科他州立大學高級訪問學者、浙江省老教授協(xié)會副會長、浙江工業(yè)大學教授、應用數(shù)學學科負責人、省級精品課程《高等數(shù)學》負責人

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撰稿：陳林孝 秘塔AI