勾股定理如何證明？愛因斯坦和趙爽，誰的方法更簡單？

關于“勾股定理”的歷史最早可以追溯到公元前1世紀，而介紹勾股定理的書籍就是《周髀》，后來到了唐朝，《周髀》被列為國子監(jiān)明算科教材，遂改名《周髀算經》。

中國古代將直角三角形的短邊稱之為“勾”，長邊稱之為“股”，而斜邊則稱之為“弦”，《周髀算經》中明確記載了勾股與弦之間的關系，也就是我們所熟知的，勾的平方加上股的平方就等于弦的平方，“勾股定理”也因此得名。不過，發(fā)現(xiàn)這個定理的不僅只有我國的先賢，在大約半個世紀以后，古希臘著名的數(shù)學家和哲學家畢達哥拉斯也發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律，所以勾股定理也稱“畢達哥拉斯定理”。

不過，發(fā)現(xiàn)勾股定理是一回事，證明勾股定理就是另一回事了。

迄今為止在世界范圍內已知的勾股定理證明方法已接近500種，而在《周髀算經》之后第一個證明勾股定理的中國人應該是一個名為趙爽的人。趙爽是我國古代一位著名的數(shù)學家，同時也是一位天文學家，其人生于東漢末年，是三國時期孫權治下的吳國人，他在數(shù)學上的最大貢獻就是對《周髀算經》進行了深入的研究，并創(chuàng)作了《周髀算經注》，在這本書中，他用一個簡單的方法證明了勾股定理的正確性。趙爽是如何證明勾股定理的呢？他將四個相同的直角三角形進行了拼合，從而形成了一個大的正方形，而正方形的四條邊就是四個直角三角形的弦，也就是斜邊。

從圖中我們可以看出來，趙爽所拼合而成的大正方形是由四個直角三角形與一個小正方形所組成的。

很顯然，大正方形的面積就等于四個直角三角形的面積加上中心小正方形的面積。大正方形的面積是多少呢？就是“弦的平方”。小正方形的面積是多少呢？就是“股減去勾”的平方。直角三角形的面積是多少呢？就是二分之一的“股乘以勾”?，F(xiàn)在就可以將三個面積列為一個等式了，即：（股-勾）2+（4X1/2X股X勾）=弦2。對這個等式進行簡化計算，就可以得到最終的結果，即：勾2+股2=弦2。成功證明了勾股定理。

趙爽是《周髀算經》后第一個證明勾股定理的中國人，而世界上第一個證明勾股定理的人應該是歐幾里德，因為畢達哥拉斯雖然是西方最早提出勾股定理的，但他的證明方法并沒有流傳下來。

趙爽雖然不是世界上第一個證明勾股定理的人，但他的證明方法勝在足夠簡單。那么，還有沒有其他人提出過比較簡單的證明方法呢？有，比如我們都非常熟悉的物理學家愛因斯坦，他在11歲的時候便使用自己的方法證明了勾股定理，而他所使用的方法也是非常簡單的。讓我們來看看與趙爽相比，到底誰的方法更簡單。愛因斯坦所使用的方法是將直角三角形一分為二。

愛因斯坦以直角三角形的直角為頂點，做一條垂直于斜邊的垂線，于是直角三角形便被一分為二了。

現(xiàn)在的情況很有意思，整幅圖中有了三個三角形，即小三角形、大三角形和分割前的最大三角形，而這三個三角形又恰好是相似三角形。所謂相似三角形就是對應角相等，對應邊成比例。而三個三角形的斜邊分別為原三角形的勾、股、弦。之后愛因斯坦以三個三角形的斜邊作為正方形的邊畫出了三個大小不等的正方形，而三個正方形的面積就分別為勾2、股2、弦2。由于三個三角形是相似三角形，所以每個三角形與對其對應的正方形的比例是相同的。

也就是說所，兩個小三角形的面積相加等于大三角形，所以兩個小正方形的面積相加就等于大正方形的面積。

由于三個正方形的面積分別為：勾2、股2、弦2，所以就可以寫為：勾2+股2=弦2。很顯然，愛因斯坦的證明方法也是比較簡單的，但相比之下，似乎還是趙爽的更簡單一些。但是不要急于下定論，這里邊還有一個隱藏的部分，就是愛因斯坦其實沒有必要畫正方形。因為對于相似三角形而言，面積之比就等于邊長的平方比，所以直接就可以得出“勾2+股2=弦2”的結論，這樣一來，其簡單的程度就與趙爽不相上下了。那么愛因斯坦為什么要畫蛇添足般的畫正方形呢？很可能是因為11歲的愛因斯坦并不知道相似三角形的面積比就等于邊長的平方比。

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